Uma matriz quadrada A se diz ortogonal se A é invertível e A^-1=A^t. Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais é ortogonal.

Passo 1

O enunciado define que uma matriz quadrada A é ortogonal se ela for invertível e
A^-1 = A^t
Queremos mostrar que, se A e B são ortogonais, então o produto AB também satisfaz
(AB)^-1 = (AB)^t,
logo é ortogonal.

Passo 2

Como A e B são invertíveis, o produto AB também é invertível e vale a regra geral
(AB)^-1 = B^-1,A^-1

Passo 3

Usando a ortogonalidade de A e B, temos A^-1=A^t e B^-1=B^t. Substituindo em (AB)^-1
(AB)^-1 = B^t,A^t
Mas sabemos que a transposta de um produto satisfaz
(AB)^t = B^t,A^t
Portanto
(AB)^-1 = (AB)^t,
o que mostra que AB é ortogonal.

Resposta

O produto AB de duas matrizes ortogonais é ortogonal, pois satisfaz (AB)^-1=(AB)^t.

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