Uma matriz quadrada
se diz ortogonal se
é invertível e
. Mostre que o produto de duas matrizes ortogonais é ortogonal.
Passo 1
O enunciado define que uma matriz quadrada
é ortogonal se ela for invertível e
Queremos mostrar que, se
e
são ortogonais, então o produto
também satisfaz
logo é ortogonal.
Passo 2
Como
e
são invertíveis, o produto
também é invertível e vale a regra geral
Passo 3
Usando a ortogonalidade de
e
, temos
e
. Substituindo em
dá
Mas sabemos que a transposta de um produto satisfaz
Portanto
o que mostra que
é ortogonal.
Resposta
O produto
de duas matrizes ortogonais é ortogonal, pois satisfaz
.