Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: R^3 longrightarrow R^3, T(x, y, z)=(x, y+z, x-z); (Ana Kelly)

Passo 1

O enunciado nos dá a transformação linear Tcolon R^3toR^3 definida por
T(x,y,z) = (x,;y+z,;x-z)
Queremos encontrar os autovalores lambda, os autoespaços associados, as multiplicidades algébrica ma e geométrica mg, e decidir se T é diagonalizável. Para isso, vamos escrever a matriz de T na base canônica, achar o polinômio característico e resolver det(A-lambda I)=0.

Passo 2

As colunas de A são T(e1),T(e2),T(e3). Calculamos
T(1,0,0)=(1,0,1), T(0,1,0)=(0,1,0), T(0,0,1)=(0,1,-1),
portanto
A= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 1 & 0 & -1

Passo 3

O polinômio característico é
det(A-lambda I) =det 1-lambda & 0 & 0 0 & 1-lambda & 1 1 & 0 & -1-lambda
Expandindo pela primeira linha (que tem dois zeros),
det(A-lambda I) =(1-lambda)det1-lambda & 10 & -1-lambda =(1-lambda)(1-lambda)(-1-lambda) =(lambda-1)^2(lambda+1)

Passo 4

Das raízes do polinômio característico obtemos os autovalores e suas multiplicidades algébricas:
lambda1 = 1, ma(lambda1)=2; lambda2 = -1, ma(lambda2)=1

Passo 5

Para resolvemos :
Então , , e é parâmetro. Assim

Passo 6

Para resolvemos :
Tomando temos , logo

Passo 7

Uma transformação em R^3 é diagonalizável se, para cada autovalor, mg(lambda)=ma(lambda) e a soma das mg for 3. Aqui verificamos que
mg(1)=1< ma(1)=2,
portanto não há base de R^3 formada por autovetores de T.

Resposta

Os autovalores são
(multiplicidade algébrica 2 e geométrica 1) com autoespaço
e
(multiplicidade algébrica 1 e geométrica 1) com autoespaço .
Como , a transformação não é diagonalizável.

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