Considere as matrizes A=[ccc1 & 1 & -3 1 & -2 & 2 1 & 2 & -5] e B=[llll2 & 1 & 3 & 0 0 & 1 & 2 & 3 3 & 4 & 2 & 0 4 & 2 & 0 & 1]
Calcule o determinante de B.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o determinante da matriz B , que é uma matriz quadrada de ordem 4. O determinante é uma operação importante em álgebra linear que nos dá informações sobre a matriz, como se ela é invertível ou não. Para resolver isso, vamos usar o método de expansão por cofatores, que é uma forma sistemática de calcular determinantes de matrizes maiores.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona o determinante para uma matriz 4x4. O determinante de uma matriz 4 times 4 pode ser calculado escolhendo uma linha ou coluna e expandindo o determinante em termos de menores e cofatores. Para simplificar, vamos escolher a primeira linha da matriz B .
A matriz B é:
B = 2 & 1 & 3 & 0 0 & 1 & 2 & 3 3 & 4 & 2 & 0 4 & 2 & 0 & 1

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula de expansão por cofatores na primeira linha. A fórmula geral é:
det(B) = sumj=1^4 (-1)^1+j cdot b1j cdot det(M1j)
Onde:
  • b1j são os elementos da primeira linha.
  • M1j é a matriz resultante ao eliminar a primeira linha e a coluna j .
Vamos calcular cada termo da soma:

Passo 4

Primeiro termo ( j = 1 ):
(-1)^1+1 cdot 2 cdot det( 1 & 2 & 3 4 & 2 & 0 2 & 0 & 1 ) = 1 cdot 2 cdot det( 1 & 2 & 3 4 & 2 & 0 2 & 0 & 1 )
Vamos calcular o determinante dessa matriz 3 times 3 :
det( 1 & 2 & 3 4 & 2 & 0 2 & 0 & 1 ) = 1 cdot (2 cdot 1 - 0 cdot 0) - 2 cdot (4 cdot 1 - 0 cdot 2) + 3 cdot (4 cdot 0 - 2 cdot 2) = 1 cdot 2 - 2 cdot 4 + 3 cdot (-4) = 2 - 8 - 12 = -18
Então, o primeiro termo é 2 cdot (-18) = -36 .

Passo 5

Segundo termo ( j = 2 ):
(-1)^1+2 cdot 1 cdot det( 0 & 2 & 3 3 & 2 & 0 4 & 0 & 1 ) = -1 cdot 1 cdot det( 0 & 2 & 3 3 & 2 & 0 4 & 0 & 1 )
Calculando o determinante dessa matriz 3 times 3 :
det( 0 & 2 & 3 3 & 2 & 0 4 & 0 & 1 ) = 0 cdot (2 cdot 1 - 0 cdot 0) - 2 cdot (3 cdot 1 - 0 cdot 4) + 3 cdot (3 cdot 0 - 2 cdot 4) = 0 - 2 cdot 3 + 3 cdot (-8) = 0 - 6 - 24 = -30
Então, o segundo termo é -1 cdot (-30) = 30 .

Passo 6

Terceiro termo ( j = 3 ):
(-1)^1+3 cdot 3 cdot det( 0 & 1 & 3 3 & 4 & 0 4 & 2 & 1 ) = 1 cdot 3 cdot det( 0 & 1 & 3 3 & 4 & 0 4 & 2 & 1 )
Calculando o determinante dessa matriz 3 times 3 :
det( 0 & 1 & 3 3 & 4 & 0 4 & 2 & 1 ) = 0 cdot (4 cdot 1 - 0 cdot 2) - 1 cdot (3 cdot 1 - 0 cdot 4) + 3 cdot (3 cdot 2 - 4 cdot 4) = 0 - 1 cdot 3 + 3 cdot (-10) = 0 - 3 - 30 = -33
Então, o terceiro termo é 3 cdot (-33) = -99 .

Passo 7

Quarto termo ( j = 4 ):
(-1)^1+4 cdot 0 cdot det( 0 & 1 & 2 3 & 4 & 2 4 & 2 & 0 ) = (-1)^5 cdot 0 cdot det(cdots) = -1 cdot 0 cdot (cdots) = 0
Como o elemento b14 = 0 , esse termo será zero.

Passo 8

Agora, somando todos os termos calculados:
det(B) = -36 + 30 - 99 + 0 = -105

Resposta

O determinante da matriz B é igual a -105.

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