Questão 3: Seja A a matriz:
A=(lll 2 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1 )
(a) (20 pontos) Determine, se existir, a sua inversa A^-1.
(b) (10 pontos) Determine o conjunto solução do sistema linear A X=B, sabendo-se que B=(r-5 0 3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para trabalhar com uma matriz A dada e fazer duas coisas: primeiro, descobrir se ela tem inversa, ou seja, se existe A^-1 , e segundo, resolver um sistema linear do tipo A X = B , onde B é um vetor conhecido. Para fazer isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinante e métodos de resolução de sistemas lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a matriz A tem inversa. Para isso, precisamos calcular o determinante de A . Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa. A matriz A é:
A= 2 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1

Passo 3

Vamos calcular o determinante de A . Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a, b, c são os elementos da primeira linha, d, e, f da segunda e g, h, i da terceira. Substituindo os valores:
det(A) = 2(1 cdot 1 - 1 cdot 0) - 1(1 cdot 1 - 1 cdot 1) + 1(1 cdot 0 - 1 cdot 1)
det(A) = 2(1 - 0) - 1(1 - 1) + 1(0 - 1)
det(A) = 2 cdot 1 - 1 cdot 0 + 1 cdot (-1)
det(A) = 2 - 0 -1 = 1

Passo 4

Como o determinante de A é 1, que é diferente de zero, podemos concluir que a matriz A tem inversa.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a inversa de A . A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 é:
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A)
Onde Adj(A) é a adjunta de A , que é a transposta da matriz dos cofatores de A .

Passo 6

Primeiro, vamos encontrar a matriz dos cofatores de A . Cada elemento da matriz dos cofatores é calculado como Cij = (-1)^i+j Mij , onde Mij é o menor complementar do elemento na posição (i,j) .
Vamos calcular cada cofator:
C11 = (+) cdot det1 & 1 0 & 1 = 1(1 cdot 1 - 1 cdot 0) = 1
C12 = (-) cdot det1 & 1 1 & 1 = -1(1 cdot 1 - 1 cdot 1) = 0
C13 = (+) cdot det1 & 1 1 & 0 = 1(1 cdot 0 - 1 cdot 1) = -1
C21 = (-) cdot det1 & 1 0 & 1 = -1(1 cdot 1 - 1 cdot 0) = -1
C22 = (+) cdot det2 & 1 1 & 1 = 1(2 cdot 1 - 1 cdot 1) = 1
C23 = (-) cdot det2 & 1 1 & 0 = -1(2 cdot 0 - 1 cdot 1) = 1
C31 = (+) cdot det1 & 1 1 & 1 = 1(1 cdot 1 - 1 cdot 1) = 0
C32 = (-) cdot det2 & 1 1 & 1 = -1(2 cdot 1 - 1 cdot 1) = -1
C33 = (+) cdot det2 & 1 1 & 1 = 1(2 cdot 1 - 1 cdot 1) = 1

Passo 7

A matriz dos cofatores C fica assim:
C = 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 1 0 & -1 & 1
Agora, a adjunta Adj(A) é a transposta de C :
Adj(A) = C^T = 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 -1 & 1 & 1

Passo 8

Finalmente, calculamos a inversa de A :
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A) = 1 cdot Adj(A) = 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 -1 & 1 & 1

Passo 9

Agora, vamos resolver o sistema linear A X = B , onde:
B = -5 0 3
Como já encontramos A^-1 , podemos multiplicar ambos os lados por A^-1 para encontrar X :
X = A^-1 B

Passo 10

Vamos multiplicar a matriz inversa de A pelo vetor B :
X = 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 -1 & 1 & 1 -5 0 3
Vamos calcular cada componente de X :
x1 = 1 cdot (-5) + (-1) cdot 0 + 0 cdot 3 = -5 + 0 + 0 = -5
x2 = 0 cdot (-5) + 1 cdot 0 + (-1) cdot 3 = 0 + 0 -3 = -3
x3 = (-1) cdot (-5) + 1 cdot 0 + 1 cdot 3 = 5 + 0 + 3 = 8

Resposta

(a) A inversa de A é:
A^-1 = 1 & -1 & 0 0 & 1 & -1 -1 & 1 & 1
(b) O conjunto solução do sistema A X = B é:
X = -5 -3 8

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