(a) (20 pontos) Determine, se existir, a sua inversa A^-1.
(b) (10 pontos) Determine o conjunto solução do sistema linear A X=B, sabendo-se que B=(r-5 0 3).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para trabalhar com uma matriz A dada e fazer duas coisas: primeiro, descobrir se ela tem inversa, ou seja, se existe A^-1 , e segundo, resolver um sistema linear do tipo A X = B , onde B é um vetor conhecido. Para fazer isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como determinante e métodos de resolução de sistemas lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a matriz A tem inversa. Para isso, precisamos calcular o determinante de A . Se o determinante for diferente de zero, a matriz tem inversa. A matriz A é:
A= 2 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 0 & 1
Passo 3
Vamos calcular o determinante de A . Para uma matriz 3x3, o determinante é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde a, b, c são os elementos da primeira linha, d, e, f da segunda e g, h, i da terceira. Substituindo os valores:
Como o determinante de A é 1, que é diferente de zero, podemos concluir que a matriz A tem inversa.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a inversa de A . A fórmula para a inversa de uma matriz 3x3 é:
A^-1 = 1det(A) cdot Adj(A)
Onde Adj(A) é a adjunta de A , que é a transposta da matriz dos cofatores de A .
Passo 6
Primeiro, vamos encontrar a matriz dos cofatores de A . Cada elemento da matriz dos cofatores é calculado como Cij = (-1)^i+j Mij , onde Mij é o menor complementar do elemento na posição (i,j) .