Questão 4: (25 pontos) Considere o seguinte sistema linear não homogêneo:
r x+k y+z=1 k x+y+z=1 x+y+k z=1
Encontre o valor da constante k para que o sistema seja:
(a) impossível.
(b) possível e determinado.
(c) possível e indetermidado. Nesse caso, encontre a solução geral do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema linear com três equações e três incógnitas:
r x + k y + z = 1 k x + y + z = 1 x + y + k z = 1
O conteúdo que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente sistemas de equações lineares. Para resolver isso, precisamos entender como verificar se o sistema tem solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções. Vamos usar determinantes e o teorema de Kronecker-Capelli para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema e calcular seu determinante. A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & k & 1 k & 1 & 1 1 & 1 & k
O determinante de A é essencial para saber se o sistema tem solução única (determinante diferente de zero) ou não. Calculando o determinante:
det(A) = 1 cdot (1 cdot k - 1 cdot 1) - k cdot (k cdot k - 1 cdot 1) + 1 cdot (k cdot 1 - 1 cdot 1)
det(A) = 1 cdot (k - 1) - k cdot (k^2 - 1) + 1 cdot (k - 1)
det(A) = (k - 1) - k(k^2 - 1) + (k - 1)
det(A) = 2(k - 1) - k^3 + k
det(A) = -k^3 + 3k - 2

Passo 3

Agora, vamos analisar os diferentes casos:
(a) Sistema impossível: Isso acontece quando o determinante é zero e o sistema não é consistente. Para verificar isso, além de det(A) = 0 , precisamos que o determinante da matriz aumentada também seja zero, mas isso dependerá das constantes do lado direito. Porém, para simplificação, assumindo que se det(A) = 0 e as equações não são múltiplas umas das outras, podemos dizer que o sistema pode ser impossível ou indeterminado.
Primeiro, encontramos os valores de k que tornam det(A) = 0 :
-k^3 + 3k - 2 = 0 k^3 - 3k + 2 = 0
Resolvendo essa equação cúbica:
k = 1 (teste: 1^3 - 3(1) + 2 = 0) k = 1 é raiz mú<ipla éú
k^3 - 3k + 2 = (k - 1)^2 (k + 2)
Então, k = 1 ou k = -2 .
Para o sistema ser impossível, precisamos que uma combinação das equações leve a uma contradição. Vamos verificar para k = -2 :
Substituindo k = -2 nas equações:
x -2y + z = 1 -2x + y + z = 1 x + y -2z = 1
Resolvendo essas, podemos ver que não há solução consistente, então k = -2 resulta em um sistema impossível.
(b) Sistema possível e determinado: Isso acontece quando o determinante é diferente de zero. Então, para k neq 1 e k neq -2 , o sistema terá uma única solução.
(c) Sistema possível e indeterminado: Isso ocorre quando o determinante é zero, mas as equações são consistentes e dependentes, levando a infinitas soluções. Analisando k = 1 :
Substituindo k = 1 :
x + y + z = 1 x + y + z = 1 x + y + z = 1
Todas as equações são iguais, então há infinitas soluções. Podemos expressar duas das variáveis em termos da terceira. Por exemplo, tomando x = t e y = s , temos z = 1 - t - s .

Resposta

(a) Para k = -2 , o sistema é impossível.
(b) Para todo k neq 1 e k neq -2 , o sistema é possível e tem solução única.
(c) Para k = 1 , o sistema é possível e indeterminado. A solução geral é:
x = t, y = s, z = 1 - t - s onde t, s in R

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