Considere as matrizes
A=[rrrr 1 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & -2 & 1 1 & 2 & 0 & -3 -1 & 0 & 1 & 1 ] e B=[lll a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 ]
Calcule o determinante da matriz A, explicitando os passos da resolução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz A , que é uma matriz 4 times 4 . Para isso, vamos usar o conteúdo de determinantes de matrizes quadradas. Vamos precisar conhecer a técnica de expansão por menores (também conhecida como cofactores) para resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante. O determinante é um número que podemos calcular a partir de uma matriz quadrada e que nos dá informações importantes sobre a matriz, como se ela é invertível ou não.

Passo 3

Para uma matriz 4 times 4 , calcular o determinante diretamente pode ser complicado, então vamos usar a expansão por menores. Isso significa que vamos escolher uma linha ou coluna para facilitar os cálculos. Geralmente, escolhemos a linha ou coluna com mais zeros para simplificar.

Passo 4

Vamos olhar a primeira linha da matriz A :
A = 1 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & -2 & 1 1 & 2 & 0 & -3 -1 & 0 & 1 & 1
Notamos que o último elemento dessa linha é zero, o que vai simplificar nossos cálculos porque qualquer termo multiplicado por zero será zero.

Passo 5

Agora, vamos aplicar a fórmula da expansão por cofactores na primeira linha:
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14
Como a14 = 0 , o último termo desaparece.

Passo 6

Vamos calcular cada cofrete Cij . O cofrete é dado por:
Cij = (-1)^i+j det(Mij)
onde Mij é a matriz que sobra quando retiramos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

Passo 7

Primeiro, vamos calcular C11 :
C11 = (-1)^1+1 det 0 & -2 & 1 2 & 0 & -3 0 & 1 & 1 = det 0 & -2 & 1 2 & 0 & -3 0 & 1 & 1

Passo 8

Agora, calculamos o determinante dessa matriz 3 times 3 . Vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofactores novamente. Vou usar a regra de Sarrus para facilitar:
det 0 & -2 & 1 2 & 0 & -3 0 & 1 & 1 = 0(0 cdot 1 - (-3) cdot 1) - (-2)(2 cdot 1 - (-3) cdot 0) + 1(2 cdot 1 - 0 cdot 0) = 0 + 4 + 2 = 6
Então, C11 = 6 .

Passo 9

Agora, vamos calcular C12 :
C12 = (-1)^1+2 det 0 & -2 & 1 1 & 0 & -3 -1 & 1 & 1 = -det 0 & -2 & 1 1 & 0 & -3 -1 & 1 & 1

Passo 10

Calculando esse determinante:
det 0 & -2 & 1 1 & 0 & -3 -1 & 1 & 1 = 0(0 cdot 1 - (-3) cdot 1) - (-2)(1 cdot 1 - (-3) cdot (-1)) + 1(1 cdot 1 - 0 cdot (-1)) = 0 - (-2)(1 - 3) + 1(1) = 0 + 4 + 1 = 5
Então, C12 = -5 .

Passo 11

Em seguida, vamos calcular C13 :
C13 = (-1)^1+3 det 0 & 0 & 1 1 & 2 & -3 -1 & 0 & 1 = det 0 & 0 & 1 1 & 2 & -3 -1 & 0 & 1

Passo 12

Calculando esse determinante:
det 0 & 0 & 1 1 & 2 & -3 -1 & 0 & 1 = 0(2 cdot 1 - (-3) cdot 0) - 0(1 cdot 1 - (-3) cdot (-1)) + 1(1 cdot 0 - 2 cdot (-1)) = 0 - 0 + 1(0 + 2) = 2
Então, C13 = 2 .

Passo 13

Agora, juntando tudo na fórmula da expansão:
det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13 + a14C14 = 1 cdot 6 + 1 cdot (-5) + (-1) cdot 2 + 0 cdot (qualquer coisa) = 6 - 5 - 2 + 0 = -1

Resposta

O determinante da matriz A é boxed-1 .

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