Seja T: R^3 R^3 o operador linear dado por
T(x, y, z)=(3 x,-2 x+2 y, x)
A partir da base autovetores encontrado em a), use o processo de ortogonalização de Gram- Schimidt para encontrar uma base ortonormal.

Passo 1

Do item (a) já sabemos que uma base de autovetores de T é
u1=(0,0,1)(lambda=0), u2=(0,1,0)(lambda=2), u3=(3,-6,1)(lambda=3)
O que vamos fazer agora é aplicar o processo de Gram–Schmidt a u1,u2,u3 com o produto interno canônico em R^3 e em seguida normalizar cada vetor.

Passo 2

Começamos por u1.
O comprimento de u1 é
|u1| = raiz0^2+0^2+1^2=1,
então o primeiro vetor ortonormal é
e1=u1|u1|=(0,0,1)

Passo 3

Agora tomamos e subtraímos a projeção em :
Logo
e como , define-se

Passo 4

Por fim, para u3=(3,-6,1) calculamos
lang<= u3,e1rang<= =3cdot0 +(-6)cdot0+1cdot1=1, lang<= u3,e2rang<= =3cdot0+(-6)cdot1+1cdot0=-6
Então
u3'=u3 -lang<= u3,e1rang<= e1 -lang<= u3,e2rang<= e2 =(3,-6,1)-(0,0,1)-(-6)(0,1,0) =(3,0,0)
O comprimento é |u3'|=3, e o vetor normalizado é
e3=u3'|u3'|=(1,0,0)

Passo 5

Juntando, obtemos a base ortonormal
e1,e2,e3 =(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)
Note que, reescrevendo na ordem usual, é a base canônica
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).

Resposta

A base ortonormal obtida é
(1,0,0),;(0,1,0),;(0,0,1)

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