Se det B=2, quanto vale o determinante da matriz C=(2 B) A^-1 B^t? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem duas matrizes, A e B , e quer descobrir o determinante da matriz C = (2B) A^-1 B^t . A matéria que estamos lidando aqui é sobre determinantes e propriedades das matrizes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas regras básicas sobre determinantes, como como eles se comportam quando você multiplica uma matriz por um escalar, quando pega a transposta de uma matriz e quando trabalha com a inversa de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz multiplicada por um escalar é igual ao escalar elevado à dimensão da matriz vezes o determinante da matriz original. Como B é uma matriz 3 times 3 , temos:
det(2B) = 2^3 cdot det(B) = 8 cdot det(B)
Passo 3
Sabemos que o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original. Ou seja:
det(A^-1) = 1det(A)
Passo 4
Também lembramos que o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da própria matriz:
det(B^t) = det(B)
Passo 5
Agora, usando a propriedade de que o determinante do produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes, podemos escrever:
det(C) = det(2B) cdot det(A^-1) cdot det(B^t)
Substituindo as expressões que encontramos nos passos anteriores: