Considere as matrizes
A=[rrrr 1 & 1 & -1 & 0 0 & 0 & -2 & 1 1 & 2 & 0 & -3 -1 & 0 & 1 & 1 ] e B=[lll a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3 c1 & c2 & c3 ]
Se det B=2, quanto vale o determinante da matriz C=(2 B) A^-1 B^t? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem duas matrizes, A e B , e quer descobrir o determinante da matriz C = (2B) A^-1 B^t . A matéria que estamos lidando aqui é sobre determinantes e propriedades das matrizes. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas regras básicas sobre determinantes, como como eles se comportam quando você multiplica uma matriz por um escalar, quando pega a transposta de uma matriz e quando trabalha com a inversa de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o determinante de uma matriz multiplicada por um escalar é igual ao escalar elevado à dimensão da matriz vezes o determinante da matriz original. Como B é uma matriz 3 times 3 , temos:
det(2B) = 2^3 cdot det(B) = 8 cdot det(B)

Passo 3

Sabemos que o determinante da matriz inversa é o inverso do determinante da matriz original. Ou seja:
det(A^-1) = 1det(A)

Passo 4

Também lembramos que o determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da própria matriz:
det(B^t) = det(B)

Passo 5

Agora, usando a propriedade de que o determinante do produto de matrizes é igual ao produto dos determinantes, podemos escrever:
det(C) = det(2B) cdot det(A^-1) cdot det(B^t)
Substituindo as expressões que encontramos nos passos anteriores:
det(C) = (8 cdot det(B)) cdot (1det(A)) cdot det(B)

Passo 6

Simplificando a expressão:
det(C) = 8 cdot det(B) cdot det(B)det(A) = 8 cdot (det(B))^2det(A)

Passo 7

Sabemos que det(B) = 2 . Substituindo esse valor na equação:
det(C) = 8 cdot (2)^2det(A) = 8 cdot 4det(A) = 32det(A)

Resposta

O determinante da matriz C vale 32det(A) .

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