Encontre a soma dos elementos da terceira coluna da matriz A^t.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A que é inversível, ou seja, tem inversa, e a inversa A^-1 está dada. A pergunta é para encontrar a soma dos elementos da terceira coluna da matriz transposta de A, que é A^t. Para resolver isso, vamos precisar entender de matrizes inversas e de transposta, além de saber como calcular a inversa de uma matriz.
Passo 2
Primeiro, já que A é inversível e sabemos A^-1, para encontrar A a gente precisa inverter A^-1. Lembra que a inversa da inversa de uma matriz é a própria matriz original, ou seja, (A^-1)^-1 = A. Então, nosso primeiro passo é calcular a inversa de A^-1 para obter A.
Passo 3
Vamos calcular a inversa de A^-1. A matriz A^-1 é:
A^-1 = 1 & 2 & -1 2 & 3 & 1 1 & 1 & 3
Para encontrar A, precisamos inverter essa matriz. O cálculo da inversa de uma matriz 3x3 envolve encontrar a matriz dos cofatores, transpor essa matriz e dividir pelo determinante de A^-1.
Passo 4
Primeiro, vamos calcular o determinante de A^-1. O determinante de uma matriz 3x3:
Agora, vamos calcular a matriz dos cofatores de A^-1. Cada elemento da matriz dos cofatores é calculado removendo a linha e a coluna do elemento e calculando o determinante da matriz resultante, multiplicado por (-1)^i+j.