Seja A uma matriz invertível tal que
A^-1=[ccc 1 & 2 & -1 2 & 3 & 1 1 & 1 & 3 ]
Encontre a soma dos elementos da terceira coluna da matriz A^t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A que é inversível, ou seja, tem inversa, e a inversa A^-1 está dada. A pergunta é para encontrar a soma dos elementos da terceira coluna da matriz transposta de A, que é A^t. Para resolver isso, vamos precisar entender de matrizes inversas e de transposta, além de saber como calcular a inversa de uma matriz.

Passo 2

Primeiro, já que A é inversível e sabemos A^-1, para encontrar A a gente precisa inverter A^-1. Lembra que a inversa da inversa de uma matriz é a própria matriz original, ou seja, (A^-1)^-1 = A. Então, nosso primeiro passo é calcular a inversa de A^-1 para obter A.

Passo 3

Vamos calcular a inversa de A^-1. A matriz A^-1 é:
A^-1 = 1 & 2 & -1 2 & 3 & 1 1 & 1 & 3
Para encontrar A, precisamos inverter essa matriz. O cálculo da inversa de uma matriz 3x3 envolve encontrar a matriz dos cofatores, transpor essa matriz e dividir pelo determinante de A^-1.

Passo 4

Primeiro, vamos calcular o determinante de A^-1. O determinante de uma matriz 3x3:
det(A^-1) = a(ei − fh) − b(di − fg) + c(dh − eg)
Aplicando os valores de A^-1:
det(A^-1) = 1(3 cdot 3 - 1 cdot 1) - 2(2 cdot 3 - 1 cdot 1) + (-1)(2 cdot 1 - 3 cdot 1) = 1(9 - 1) - 2(6 - 1) -1(2 - 3) = 8 - 10 + 1 = -1

Passo 5

Agora, vamos calcular a matriz dos cofatores de A^-1. Cada elemento da matriz dos cofatores é calculado removendo a linha e a coluna do elemento e calculando o determinante da matriz resultante, multiplicado por (-1)^i+j.
Após calcular, a matriz dos cofatores de A^-1 é:
Cof(A^-1) = (3 cdot 3 - 1 cdot 1) & -(2 cdot 3 - 1 cdot 1) & (2 cdot 1 - 3 cdot 1) -(2 cdot 3 - 1 cdot 1) & (1 cdot 3 - (-1) cdot 1) & -(1 cdot 1 - (-1) cdot 2) (2 cdot 1 - 3 cdot 1) & -(1 cdot 1 - (-1) cdot 2) & (1 cdot 3 - 2 cdot 2) = 8 & -5 & -1 -5 & 4 & 3 -1 & 3 & -1

Passo 6

Em seguida, vamos transpor a matriz dos cofatores para obter a matriz adjunta de A^-1:
Adj(A^-1) = 8 & -5 & -1 -5 & 4 & 3 -1 & 3 & -1 ^t = 8 & -5 & -1 -5 & 4 & 3 -1 & 3 & -1

Passo 7

Agora, a inversa de A^-1, que é A, é dada por:
A = 1det(A^-1) cdot Adj(A^-1) = 1-1 cdot 8 & -5 & -1 -5 & 4 & 3 -1 & 3 & -1 = -8 & 5 & 1 5 & -4 & -3 1 & -3 & 1

Passo 8

Agora que temos A, vamos encontrar sua transposta A^t. A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas:
A^t = -8 & 5 & 1 5 & -4 & -3 1 & -3 & 1 ^t = -8 & 5 & 1 5 & -4 & -3 1 & -3 & 1

Passo 9

Finalmente, vamos olhar para a terceira coluna de A^t:
Terceira coluna de A^t = 1 -3 1
Para encontrar a soma dos elementos dessa coluna, basta somar 1, -3 e 1:
1 + (-3) + 1 = -1

Resposta

A soma dos elementos da terceira coluna da matriz A^t é -1.

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