Considere as matrizes
& A=[3], B=[rr 1 & 2 4 & -3 ], C=[rrr -3 & 2 & 1 2 & -4 & 1 -2 & -3 & 0 ], & D=[rrr -1 & 0 & 1 2 & 5 & -7 -2 & 3 & 2 ] e E=[rrrr 2 & 3 & -3 & -2 0 & -1 & 1 & 4 3 & 2 & -1 & 0 0 & 2 & -2 & -4 ]
calcule os determinantes abaixo.
det(E).

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o determinante da matriz E . A gente está falando de determinantes, que é um conceito importante em álgebra linear. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular determinantes de matrizes, especialmente de matrizes quadradas como a E , que é uma matriz 4 times 4 .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o determinante. O determinante é um número que pode ser calculado a partir de uma matriz quadrada e que nos dá várias informações importantes sobre a matriz, como se ela é inversível ou não. Para matrizes 2 times 2 , o determinante é fácil de calcular, mas para matrizes maiores, usamos métodos como a expansão por cofatores ou a redução para triangularização.

Passo 3

No caso da matriz E , que é 4 times 4 , vamos usar o método de expansão por cofatores para calcular o determinante. Esse método envolve escolher uma linha ou coluna e calcular os cofatores correspondentes, multiplicando-os pelos elementos da linha ou coluna escolhida e somando os resultados.

Passo 4

Vamos escolher expandir o determinante pela primeira linha da matriz E . A primeira linha de E é:
2 & 3 & -3 & -2
Agora, para cada elemento dessa linha, vamos calcular o cofator correspondente.

Passo 5

Começando pelo primeiro elemento 2 , removemos a primeira linha e a primeira coluna para formar a matriz 3 times 3 :
-1 & 1 & 4 2 & -1 & 0 0 & -2 & -4
Calculamos o determinante dessa matriz menor.

Passo 6

O cofactor correspondente a 2 é (+1) times determinante da matriz acima. Vamos calcular:
det = (-1) times [(-1)(-4) - (1)(-2)] - (1) times [(2)(-4) - (0)(-2)] + (4) times [(2)(-2) - (-1)(0)] = (-1)(4 + 2) - 1(-8 - 0) + 4(-4 - 0) = (-1)(6) + 8 + (-16) = -6 + 8 - 16 = -14
Então, o primeiro termo é 2 times (-14) = -28 .

Passo 7

O segundo elemento da primeira linha é 3 . Removemos a primeira linha e a segunda coluna:
0 & 1 & 4 3 & -1 & 0 0 & -2 & -4
Calculamos o determinante dessa matriz menor.

Passo 8

O cofactor correspondente a 3 é (-1) times determinante da matriz acima. Calculando:
det = 0 times [(-1)(-4) - (0)(-2)] - 1 times [(3)(-4) - (0)(-2)] + 4 times [(3)(-2) - (-1)(0)] = 0 - 1(-12 - 0) + 4(-6 - 0) = 0 + 12 - 24 = -12
Então, o segundo termo é 3 times (-12) = -36 .

Passo 9

O terceiro elemento da primeira linha é -3 . Removemos a primeira linha e a terceira coluna:
0 & -1 & 4 3 & 2 & 0 0 & 0 & -4
Calculamos o determinante dessa matriz menor.

Passo 10

O cofactor correspondente a -3 é (+1) times determinante da matriz acima. Calculando:
det = 0 times [(2)(-4) - (0)(0)] - (-1) times [(3)(-4) - (0)(0)] + 4 times [(3)(0) - (2)(0)] = 0 + 12 + 0 = 12
Então, o terceiro termo é -3 times 12 = -36 .

Passo 11

O quarto elemento da primeira linha é -2 . Removemos a primeira linha e a quarta coluna:
0 & -1 & 1 3 & 2 & -1 0 & 0 & -2
Calculamos o determinante dessa matriz menor.

Passo 12

O cofactor correspondente a -2 é (-1) times determinante da matriz acima. Calculando:
det = 0 times [(2)(-2) - (-1)(0)] - (-1) times [(3)(-2) - (-1)(0)] + 1 times [(3)(0) - (2)(0)] = 0 + 6 + 0 = 6
Então, o quarto termo é -2 times 6 = -12 .

Resposta

Agora, somamos todos os termos obtidos:
-28 + (-36) + (-36) + (-12) = -112
Portanto, o determinante da matriz E é -112 .

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