Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o determinante do produto das matrizes C e D , ou seja, det(CD). Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre determinantes de matrizes e como eles se comportam quando multiplicamos matrizes. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar que se temos duas matrizes quadradas C e D do mesmo tamanho, o determinante do produto delas é igual ao produto dos determinantes individuais. Matemáticamente, isso é representado por:
det(CD) = det(C) times det(D)
Isso simplifica nossa vida porque em vez de calcular o determinante da matriz resultante CD , podemos calcular os determinantes de C e D separadamente e depois multiplicá-los.
Passo 3
Vamos começar calculando det(C). A matriz C é:
C = -3 & 2 & 1 2 & -4 & 1 -2 & -3 & 0
Para encontrar o determinante de uma matriz 3x3, podemos usar a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vamos usar a regra de Sarrus aqui.
Passo 4
Aplicando a regra de Sarrus na matriz C :
det(C) = (-3) times (-4) times 0 + 2 times 1 times (-2) + 1 times 2 times (-3) - [1 times (-4) times (-2) + (-3) times 1 times (-3) + 2 times 2 times 0]
Vamos calcular cada termo passo a passo.
Passo 5
Calculando os primeiros três termos:
(-3) times (-4) times 0 = 0 2 times 1 times (-2) = -4 1 times 2 times (-3) = -6
Somando esses valores:
0 + (-4) + (-6) = -10
Passo 6
Agora, calculando os três últimos termos:
1 times (-4) times (-2) = 8 (-3) times 1 times (-3) = 9 2 times 2 times 0 = 0
Somando esses valores:
8 + 9 + 0 = 17
Passo 7
Subtraindo a segunda soma da primeira:
-10 - 17 = -27
Portanto, det(C) = -27.
Passo 8
Agora, vamos calcular det(D). A matriz D é:
D = -1 & 0 & 1 2 & 5 & -7 -2 & 3 & 2
Usaremos novamente a regra de Sarrus para encontrar o determinante.
Passo 9
Aplicando a regra de Sarrus na matriz D :
det(D) = (-1) times 5 times 2 + 0 times (-7) times (-2) + 1 times 2 times 3 - [1 times 5 times (-2) + (-1) times (-7) times 3 + 0 times 2 times 2]
Vamos calcular cada termo passo a passo.
Passo 10
Calculando os primeiros três termos:
(-1) times 5 times 2 = -10 0 times (-7) times (-2) = 0 1 times 2 times 3 = 6
Somando esses valores:
-10 + 0 + 6 = -4
Passo 11
Agora, calculando os três últimos termos:
1 times 5 times (-2) = -10 (-1) times (-7) times 3 = 21 0 times 2 times 2 = 0
Somando esses valores:
-10 + 21 + 0 = 11
Passo 12
Subtraindo a segunda soma da primeira:
-4 - 11 = -15
Portanto, det(D) = -15.
Resposta
Agora que temos det(C) = -27 e det(D) = -15, podemos calcular det(CD):
det(CD) = det(C) times det(D) = (-27) times (-15) = 405