Considere as matrizes:
A=(lll 1 & 0 & 2 3 & 1 & 0 2 & 0 & 2 ), B=(cccc -1 & 2 & 1 & 1 2 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 2 & 1 1 & 1 & 3 & 2 ), C=(cccc -1 & 0 & 1 & 3 0 & 2 & 1 & 2 0 & -1 & 1 & 2 0 & 2 & 1 & 1 )
Calcule os seguintes determinantes usando a expansão em cofatores em uma linha ou coluna:
  1. det(A);
  2. det(A^t);
  3. det(A^-1);
  4. det(B);
  5. det(B^-1);
  6. det(A B);
  7. det(C^t);
  8. det(A B C).

Passo 1

O enunciado pede para calcular estes determinantes:
1. det(A) 2. det(A^t) 3. det(A^-1) 4. det(B) 5. det(B^-1) 6. det(A,B) 7. det(C^t) 8. det(A,B,C)
O conteúdo envolvido são as expansões em cofatores para matrizes 3times 3 e 4times 4, e as propriedades
det(A^t)=det(A), det(A^-1)=1/det(A) e det(A,B)=det(A)det(B).

Passo 2

Para det(A) expandimos em cofatores ao longo da primeira linha de
A = 1 & 0 & 2 3 & 1 & 0 2 & 0 & 2
Temos
det(A) =1cdotdet1 & 0 0 & 2 -0cdotdet3 & 0 2 & 2 +2cdotdet3 & 1 2 & 0
Calculando os 2times 2:
det1 & 0 0 & 2=1cdot 2-0cdot 0=2, det3 & 1 2 & 0=3cdot 0-1cdot 2=-2
Logo
det(A)=1cdot 2 + 2cdot (-2)=2-4=-2

Passo 3

Pelas propriedades:
det(A^t)=det(A)=-2, det(A^-1)=1det(A)=-tfrac12

Passo 4

Para det(B) expandimos na segunda linha de
B= -1 & 2 & 1 & 1 2 & 1 & 0 & 0 0 & 2 & 2 & 1 1 & 1 & 3 & 2 ,
once só os dois primeiros elementos são não-nulos. Assim
det(B) =2;C21 ;+;1;C22,
com
C21=(-1)^2+1det 2 & 1 & 1 2 & 2 & 1 1 & 3 & 2 , C22=(-1)^2+2det -1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 1 & 3 & 2
Calculando cada 3times 3 obtemos C21=-3 e C22=-2. Portanto
det(B)=2cdot (-3)+1cdot (-2)=-6-2=-8

Passo 5

Pelas propriedades:
det(B^-1)=1det(B)=-tfrac18, det(A,B)=det(A),det(B)=(-2),(-8)=16

Passo 6

Para det(C) expandimos na primeira coluna de
C= -1 & 0 & 1 & 3 0 & 2 & 1 & 2 0 & -1 & 1 & 2 0 & 2 & 1 & 1
Só o elemento -1 em (1,1) é não-nulo nessa coluna, logo
det(C) =-1 ;(-1)^1+1;det 2 & 1 & 2 -1 & 1 & 2 2 & 1 & 1 =-1cdotdet(dots)
Esse 3times 3 vale -3, portanto det(C)=3.

Passo 7

Pelas propriedades:
det(C^t)=det(C)=3

Passo 8

Finalmente,
det(A,B,C)=det(A),det(B),det(C) =(-2),(-8),(3)=48

Resposta

1. det(A)=-2 2. det(A^t)=-2 3. det(A^-1)=-tfrac12 4. det(B)=-8 5. det(B^-1)=-tfrac18 6. det(A,B)=16 7. det(C^t)=3 8. det(A,B,C)=48

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