(a) Determine a equação do plano que contém e (Dica: considere um ponto de , um ponto de e faça o produto vetorial de pelo vetor diretor das retas.)
(b) Encontre a equação de uma reta contida no plano alpha, que seja perpendicular a r e a s (Observe que o vetor diretor dessa reta deve ser ortogonal ao vetor diretor de r e s e também ao vetor normal ao plano alpha ).
(c) Calcule dist(r, s) (OBS.: Se Pr é o ponto de interseção da reta ell com a reta r e Ps é o ponto de interseção da reta ell com a reta s, então o segmento Pr Ps é perpendicular comum às retas r e s e assim dist(r, s)=dist(Pr Ps)).
(d) Determine uma reta contida em alpha e que está equidistante de r e de s.
Passo 1
O enunciado trata de geometria analítica no espaço: temos duas retas paralelas
e queremos
(a) o plano alpha que as contém;
(b) uma reta em alpha perpendicular às duas retas;
(c) a distância entre r e s;
(d) uma reta em alpha equidistante de r e s.
Para isso usaremos operações vetoriais (produto vetorial, produto escalar), a fórmula da distância entre retas paralelas e o ponto médio de um segmento.
Passo 2
Escolhemos A in r dado por A=(-6,3,-2) (quando t=0) e B in s dado por B=(-3,30,-14) (quando s=0).
O vetor que liga A a B é
AB = B - A = (3,,27,,-12)
O vetor diretor comum às retas é
vec v = (3,-1,2)
Um vetor normal ao plano alpha é
vec n = ABtimes vec v = i & j & k [6pt] 3 & 27 & -12 [3pt] 3 & -1 & 2 = (42,,-42,,-84),
que simplifica para vec n=(1,-1,-2).
A equação de alpha é