Considere as retas paralelas
r:(x, y, z)=(-6,3,-2)+t(3,-1,2) s:(x, y, z)=(-3,30,-14)+s(3,-1,2)
(a) Determine a equação do plano alpha que contém r e s (Dica: considere um ponto A de r, um ponto B de s e faça o produto vetorial de A B pelo vetor diretor das retas.)
(b) Encontre a equação de uma reta contida no plano alpha, que seja perpendicular a r e a s (Observe que o vetor diretor dessa reta deve ser ortogonal ao vetor diretor de r e s e também ao vetor normal ao plano alpha ).
(c) Calcule dist(r, s) (OBS.: Se Pr é o ponto de interseção da reta ell com a reta r e Ps é o ponto de interseção da reta ell com a reta s, então o segmento Pr Ps é perpendicular comum às retas r e s e assim dist(r, s)=dist(Pr Ps)).
(d) Determine uma reta contida em alpha e que está equidistante de r e de s.

Passo 1

O enunciado trata de geometria analítica no espaço: temos duas retas paralelas
r: (x,y,z)=(-6,3,-2)+t,(3,-1,2), s: (x,y,z)=(-3,30,-14)+s,(3,-1,2),
e queremos
(a) o plano alpha que as contém;
(b) uma reta em alpha perpendicular às duas retas;
(c) a distância entre r e s;
(d) uma reta em alpha equidistante de r e s.
Para isso usaremos operações vetoriais (produto vetorial, produto escalar), a fórmula da distância entre retas paralelas e o ponto médio de um segmento.

Passo 2

Escolhemos A in r dado por A=(-6,3,-2) (quando t=0) e B in s dado por B=(-3,30,-14) (quando s=0).
O vetor que liga A a B é
AB = B - A = (3,,27,,-12)
O vetor diretor comum às retas é
vec v = (3,-1,2)
Um vetor normal ao plano alpha é
vec n = ABtimes vec v = i & j & k [6pt] 3 & 27 & -12 [3pt] 3 & -1 & 2 = (42,,-42,,-84),
que simplifica para vec n=(1,-1,-2).
A equação de alpha é
vec ncdotl((x,y,z)-Ar)=0 Longrightarrow 1,(x+6)-1,(y-3)-2,(z+2)=0,
isto é, em forma cartesiana:
x - y - 2z + 5 = 0 ]

Passo 3

Queremos uma reta em alpha cujo vetor diretor vec u seja ortogonal a vec v e também ortogonal a vec n. Logo
vec u = vec v times vec n = i & j & k [3pt] 3 & -1 & 2 [3pt] 1 & -1 & -2 = (4,,8,,-2),
que simplifica para vec u=(2,4,-1).
Uma reta ell subset alpha perpendicular a r e s passa por A e tem vetor diretor vec u:
ell: (x,y,z)=(-6,3,-2)+t,(2,4,-1) ]

Passo 4

A distância entre retas paralelas r e s é dada por
dist(r,s) =l|ABtimes vec vr||vec v| =|(42,-42,-84)|raiz3^2+(-1)^2+2^2 =42raiz1+1+4raiz14 =42raiz6raiz14 =6raiz21

Passo 5

Para achar uma reta em alpha equidistante de r e s, tomamos o ponto médio
M = A+B2 = l(-4,5,;16,5,;-8r)
do segmento AB e mantemos o mesmo vetor diretor vec v das retas paralelas. Assim a reta desejada é
m: (x,y,z)=l(-4,5,,16,5,,-8r)+t,(3,-1,2),
que fica exatamente no meio de r e s.

Resposta

(a) ;x - y - 2z + 5 = 0
(b) ;ell: (x,y,z)=(-6,3,-2)+t,(2,4,-1)
(c) ;dist(r,s)=6raiz21
(d) ;m: (x,y,z)=(-4,5,,16,5,,-8)+t,(3,-1,2)

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