Determine para cada matriz abaixo se ela está na forma escalonada, escalonada reduzida ou não está escalonada:
Passo 1
O enunciado pede para cada matriz A,B,C,D,E,F determinar se ela está em forma escalonada, em forma escalonada reduzida ou se não está escalonada. O conteúdo é teoria de forma escalonada de matrizes, e precisaremos usar as definições de forma escalonada (row echelon form) e forma escalonada reduzida (reduced row echelon form).
Passo 2
Definições:
Uma matriz está em forma escalonada se:
Todas as linhas nulas (todas as entradas zero) aparecem abaixo das linhas não nulas.
O primeiro elemento não nulo (pivot) de cada linha não nula fica estritamente à direita do pivot da linha acima.
Abaixo de cada pivot todas as entradas são zero.
Uma matriz está em forma escalonada reduzida se além de ser escalonada:
Cada pivot é igual a 1.
Cada pivot é o único elemento não nulo em sua coluna (ou seja, acima e abaixo do pivot só há zeros).
Passo 3
Analisando
A= 1 & 1 & 1 0 & -1& 2 0 & 0 & 7
– Linhas nulas: não há;
– Pivots: 1 em coluna 1, depois -1 em coluna 2, depois 7 em coluna 3, cada um à direita do anterior;
– Abaixo de cada pivot só há zeros.
Logo, A está em forma escalonada. Mas os pivots -1 e 7 não são 1 e, por exemplo, na coluna do pivot 7 há entradas não nulas acima, então não é forma escalonada reduzida.
Passo 4
Analisando
B= 1 & 3 & -1& 1 0 & 0 & 1 & 7 0 & 0 & 0 & 0
– A terceira linha é nula e está embaixo;
– Pivots: 1 em coluna 1 e 1 em coluna 3, cada um à direita do anterior;
– Abaixo de cada pivot só há zeros.
Assim, B está em forma escalonada. Os pivots são iguais a 1, mas na coluna do segundo pivot (col3) há -1 acima (linha 1), então não é reduzida.
Passo 5
Analisando
C= 1 & 2 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 0
– Linhas nulas embaixo;
– Pivots: 1 em coluna 1 e 1 em coluna 3, cada um à direita;
– Abaixo de cada pivot só há zeros;
– Cada pivot vale 1;
– Em cada coluna de pivot não há outros elementos não nulos (na coluna 1 só aparece esse 1, na coluna 3 só aparece esse 1).
Portanto, C está em forma escalonada reduzida.
Passo 6
Analisando
D= 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0
– Linha nula embaixo;
– Pivots: 1 em coluna 1 e 1 em coluna 2;
– Abaixo de cada pivot só há zeros;
– Todos os pivots são 1 e são os únicos elementos não nulos em suas colunas.
Logo, D está em forma escalonada reduzida.
Passo 7
Analisando
E= 1 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Aqui a segunda linha é nula mas aparece acima de uma linha não nula (a terceira), violando a condição de que todas as linhas nulas devem estar abaixo das não nulas. Logo, Enão está em forma escalonada.
Passo 8
Analisando
F= 1 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 0
– Linha nula embaixo;
– Pivots: 1 em coluna 1 e 1 em coluna 3;
– Abaixo de cada pivot só há zeros;
– Cada pivot vale 1 e em suas colunas não há outros não zeros.
Portanto, F está em forma escalonada reduzida.
Resposta
A: forma escalonada (não reduzida)
B: forma escalonada (não reduzida)
C: forma escalonada reduzida
D: forma escalonada reduzida
E: não está em forma escalonada
F: forma escalonada reduzida