Considere os pontos e . Observe que estes três pontos são vértices de um triângulo equilátero de lado .
(a) Determine um ponto no espaço tal que é um tetraedro regular, isto é, é uma pirâmide de base triangular com todas as arestas de mesma medida.
(b) Quantos tais pontos existem?
(c) Escolha um dos pontos que você encontrou no item (a). Para este ponto mostre que as arestas opostas e são ortogonais. (na verdade, esta é uma propriedade verdadeira para quaisquer pares de arestas opostas de um tetraedro regular).
Passo 1
O enunciado dá os pontos
que formam um triângulo equilátero de lado . Queremos um ponto tal que todas as arestas também tenham comprimento , de modo que seja um tetraedro regular.
Passo 2
Escrevemos as equações que impõem . Isso dá três equações em :
Passo 3
Subtraindo a primeira da segunda obtemos
Análogo, subtraindo a primeira da terceira vem . Logo . Substituímos em
Resolvendo
Portanto os pontos são
isto é, existem dois tais pontos.
Passo 4
Escolhendo, por exemplo, , temos
O produto escalar é
ABcdotCD = (-1)cdot1 + 1cdot1 + 0cdot0 = 0,
logo ABperp CD.
Resposta
(a) Os pontos são D=(1,1,1) ou D=(-tfrac13,-tfrac13,-tfrac13).
(b) Existem dois tais pontos.
(c) Para D=(1,1,1) obtivemos ABcdotCD=0, logo AB é ortogonal a CD.