Considere os pontos A=(1,0,0), B=(0,1,0) e C=(0,0,1). Observe que estes três pontos são vértices de um triângulo equilátero de lado raiz2.
(a) Determine um ponto D no espaço tal que A B C D é um tetraedro regular, isto é, é uma pirâmide de base triangular com todas as arestas de mesma medida.
(b) Quantos tais pontos D existem?
(c) Escolha um dos pontos D que você encontrou no item (a). Para este ponto mostre que as arestas opostas A B e C D são ortogonais. (na verdade, esta é uma propriedade verdadeira para quaisquer pares de arestas opostas de um tetraedro regular).

Passo 1

O enunciado dá os pontos
A=(1,0,0), B=(0,1,0), C=(0,0,1),
que formam um triângulo equilátero de lado raiz2. Queremos um ponto D=(x,y,z) tal que todas as arestas DA,DB,DC também tenham comprimento raiz2, de modo que ABCD seja um tetraedro regular.

Passo 2

Escrevemos as equações que impõem |D-A|^2=|D-B|^2=|D-C|^2=2. Isso dá três equações em x,y,z:
(x-1)^2 + y^2 + z^2 = 2
x^2 + (y-1)^2 + z^2 = 2
x^2 + y^2 + (z-1)^2 = 2

Passo 3

Subtraindo a primeira da segunda obtemos
(x-1)^2 - x^2 ;+; y^2 - (y-1)^2 ;=;0 ;Longrightarrow;-2x+1 +2y-1=0 ;Longrightarrow;y=x
Análogo, subtraindo a primeira da terceira vem z=x. Logo x=y=z. Substituímos em
(x-1)^2 + 2x^2 = 2 ;Longrightarrow;1 - 2x + x^2 +2x^2=2 ;Longrightarrow;3x^2 -2x -1=0
Resolvendo
x = 2pmraiz4+126 = 2pm46 ;Longrightarrow;x=1ou x=-tfrac13
Portanto os pontos D são
D1=(1,1,1) e D2=l(-tfrac13,-tfrac13,-tfrac13r),
isto é, existem dois tais pontos.

Passo 4

Escolhendo, por exemplo, D=(1,1,1), temos
AB=B-A = (-1,,1,,0), CD=D-C = (1,,1,,0)
O produto escalar é
ABcdotCD = (-1)cdot1 + 1cdot1 + 0cdot0 = 0,
logo ABperp CD.

Resposta

(a) Os pontos são D=(1,1,1) ou D=(-tfrac13,-tfrac13,-tfrac13).
(b) Existem dois tais pontos.
(c) Para D=(1,1,1) obtivemos ABcdotCD=0, logo AB é ortogonal a CD.

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