Determine a equação do plano em cada situação descrita.
(a) O plano passa pelo ponto A=(2,0,-2) e é paralelo aos vetores u=(1,-1,1) e v=(2,3,0).
(b) O plano passa pelos pontos A=(-3,1,-2) e B=(-1,2,1) e é paralelo ao vetor v=(2,0,-3).
(c) O plano contém os pontos A=(1,-2,2) e B=(-3,1,-2) e é perpendicular ao plano 2 x+y-z=-8.

Passo 1

O enunciado pede para determinar em cada caso a equação do plano em R^3. O formato geral é
ncdotl((x,y,z)-(x0,y0,z0)r)=0,
onde n é um vetor normal ao plano e (x0,y0,z0) um ponto dado. Para achar n podemos usar produto vetorial de dois vetores diretores que pertencem ao plano ou a condição de ortogonalidade de normais de planos perpendiculares.

Passo 2

(a) Temos o plano passando por A=(2,0,-2) e paralelo a u=(1,-1,1) e v=(2,3,0). Um normal é
utimes v =det i & j & k 1 & -1 & 1 2 & 3 & 0 =(-3,2,5)
Logo a equação é
(-3,2,5)cdotl((x,y,z)-(2,0,-2)r)=0 ;Longrightarrow; -3(x-2)+2y+5(z+2)=0 ;Longrightarrow; -3x+2y+5z+16=0

Passo 3

(b) Aqui o plano passa por A=(-3,1,-2) e B=(-1,2,1) e é paralelo a v=(2,0,-3). Dois vetores diretores são AB=B-A=(2,1,3) e v, então
n=(2,1,3)times(2,0,-3) =det i & j & k 2 & 1 & 3 2 & 0 & -3 =(-3,12,-2)
A equação fica
(-3,12,-2)cdotl((x,y,z)-(-3,1,-2)r)=0 ;Longrightarrow; -3(x+3)+12(y-1)-2(z+2)=0 ;Longrightarrow; -3x+12y-2z-25=0

Passo 4

(c) O plano contém A=(1,-2,2) e B=(-3,1,-2) e é perpendicular ao plano 2x+y-z=-8. Sejam AB=(-4,3,-4) e n1=(2,1,-1) normal ao plano dado. Como nosso plano é perpendicular a esse, seu normal n deve satisfazer
nperpAB, nperp n1 Longrightarrow n=ABtimes n1 =(1,-12,-10)
Então
(1,-12,-10)cdotl((x,y,z)-(1,-2,2)r)=0 ;Longrightarrow; (x-1)-12(y+2)-10(z-2)=0 ;Longrightarrow; x-12y-10z-5=0

Resposta

(a) -3x+2y+5z+16=0
(b) -3x+12y-2z-25=0
(c) x-12y-10z-5=0

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