Considere as matrizes:
A=[rr3 & 0 -1 & 2 1 & 1], B=[rr4 & -1 0 & 2], C=[lll1 & 4 & 2 3 & 1 & 5], D=[rrr1 & 5 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 2 & 4], E=[rrr6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3].
Calcule as seguintes matrizes, quando for possível. Se não for possível, justifique:
(o) B^T(C C^T-A^T A)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a matriz
B^Tl(C,C^T-A^TAr),
donde A é 3times2, C é 2times3 e B é 2times2. Primeiro vamos verificar as dimensões intermediárias para confirmar que todas as multiplicações são possíveis:
  • C,C^T é (2times3)times(3times2)=(2times2),
  • A^TA é (2times3)times(3times2)=(2times2),
  • portanto C,C^T-A^TA é uma matriz 2times2,
  • e então B^T (que é 2times2) multiplica esse resultado, também produzindo uma matriz 2times2.
    Agora vamos calcular cada parte.

Passo 2

Calcular C,C^T.
As linhas de C são (1,4,2) e (3,1,5), logo
C,C^T = (1)^2+(4)^2+(2)^2 & 1cdot3+4cdot1+2cdot5 1cdot3+4cdot1+2cdot5 & (3)^2+(1)^2+(5)^2 = 21 & 17 17 & 35

Passo 3

Calcular A^TA.
As colunas de A são (3,-1,1) e (0,2,1), então
A^TA = 3^2+(-1)^2+1^2 & 3cdot0+(-1)cdot2+1cdot1 3cdot0+(-1)cdot2+1cdot1 & 0^2+2^2+1^2 = 11 & -1 -1 & 5

Passo 4

Formar a diferença
M = C,C^T - A^TA =21&1717&35 -11&-1-1&5 =10&1818&30

Passo 5

Calcular B^TM.
Como
B=4 & -10 & 2,
temos
B^T=4&0-1&2
Multiplicando por M:
B^TM =4&0-1&2 10&1818&30 = 4cdot10+0cdot18 & 4cdot18+0cdot30 -1cdot10+2cdot18 & -1cdot18+2cdot30 = 40 & 72 26 & 42

Resposta

B^Tl(C,C^T-A^TAr) =40 & 7226 & 42

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