Considere as matrizes
A=[cc3 & 0 -1 & 2 1 & 1], B=[cc4 & -1 0 & 2], C=(ccc1 & 4 & 2 3 & 1 & 5), D=(ccc1 & 5 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 2 & 4) e E=(ccc6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3).
Calcule, se possível:
(a) 4 E-2 D;
(b) tr(D-3 E);
(c) -3(5 C-4 A^T);
(d) A B;
(e) 4 tr(7 B);
(f) 2 A^T+C;
(g) (2 E^T-3 D^T)^T;
(h) tr(D E^T);
(i) (A B) C;
(j) tr(C^T A^T+2 E^T);
(k) (4 B) C+2 B;
(m) (-A C)^T+5 D^T;
(n) (B A^T-2 C)^T;
(o) B^T(C C^t-A^T A);
§ tr(C^T A^T+2 E^T).

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=3 & 0 -1 & 2 1 & 1, B=4 & -1 0 & 2, C=1 & 4 & 2 3 & 1 & 5,
D=1 & 5 & 2 -1 & 0 & 1 3 & 2 & 4, E=6 & 1 & 3 -1 & 1 & 2 4 & 1 & 3
e pede várias operações de combinação linear, transposta, produto e traço. Vamos usar as propriedades de linearidade do traço, regras de dimensão para soma e produto de matrizes, e as operações de transposição.

Passo 2

(a) Calcular 4E-2D.
4E = 24 & 4 & 12 -4 & 4 & 8 16 & 4 & 12, 2D = 2 & 10 & 4 -2 & 0 & 2 6 & 4 & 8
4E - 2D = 22 & -6 & 8 -2 & 4 & 6 10 & 0 & 4

Passo 3

(b) Calcular tr(D-3E).
3E=18 & 3 & 9 -3 & 3 & 6 12 & 3 & 9, D-3E=-17 & 2 & -7 2 & -3 & -5 -9 & -1 & -5
tr(D-3E)=(-17)+(-3)+(-5)=-25

Passo 4

(c) Calcular -3l(5C-4A^Tr).
A^T=3 & -1 & 1 0 & 2 & 1, 5C=5 & 20 & 10 15 & 5 & 25, 4A^T=12 & -4 & 4 0 & 8 & 4
5C-4A^T=-7 & 24 & 6 15 & -3 & 21, -3(5C-4A^T)=21 & -72 & -18 -45 & 9 & -63

Passo 5

(d) Calcular AB.
A=3 & 0 -1 & 2 1 & 1, B=4 & -1 0 & 2
AB= 3cdot4+0cdot0 & 3cdot(-1)+0cdot2 -1cdot4+2cdot0 & -1cdot(-1)+2cdot2 1cdot4+1cdot0 & 1cdot(-1)+1cdot2 =12 & -3 -4 & 5 4 & 1

Passo 6

(e) Calcular 4,tr(7B).
tr(B)=4+2=6, então tr(7B)=7cdot6=42 e
4,tr(7B)=4cdot42=168

Passo 7

(f) Calcular 2A^T + C.
2A^T=6 & -2 & 2 0 & 4 & 2, C=1 & 4 & 2 3 & 1 & 5
2A^T + C = 7 & 2 & 4 3 & 5 & 7

Passo 8

(g) Calcular l(2E^T-3D^Tr)^T. Usando (M^T)^T=M:
2E^T-3D^T=9 & 1 & -1 -13 & 2 & -4 0 & 1 & -6,
portanto
(2E^T-3D^T)^T =9 & -13 & 0 1 & 2 & 1 -1 & -4 & -6

Passo 9

(h) Calcular tr(D,E^T). Usando tr(D,E^T)=sumi,jDijEij:
sum DijEij =1cdot6+5cdot1+2cdot3+(-1)(-1)+0cdot1+1cdot2+3cdot4+2cdot1+4cdot3 =46

Passo 10

(i) Calcular (AB),C. Já temos AB=12 & -3-4 & 54 & 1.
(AB)C = 3 & 45 & 9 11 & -11 & 17 7 & 17 & 13

Passo 11

(j) Calcular trl(C^T A^T + 2E^Tr). Usando linearidade:
tr(C^T A^T)=tr((AC)^T)=tr(AC)=8, tr(2E^T)=2,tr(E)=2cdot10=20
Logo tr(C^T A^T +2E^T)=8+20=28.

Passo 12

(k) Analisar (4B)C +2B.
(4B)C é 2times3 e 2B é 2times2; não dá para somar matrizes de dimensões diferentes.
Resposta: não é possível.

Passo 13

(m) Calcular (-AC)^T +5D^T. Já foi obtido
AC=3 & 12 & 65 & -2 & 84 & 5 & 7, D^T=1 & -1 & 35 & 0 & 22 & 1 & 4
Então
(-AC)^T=-3 & -5 & -4-12 & 2 & -5-6 & -8 & -7, 5D^T=5 & -5 & 1525 & 0 & 1010 & 5 & 20,
(-AC)^T+5D^T =2 & -10 & 1113 & 2 & 54 & -3 & 13

Passo 14

(n) Calcular l(BA^T -2Cr)^T.
BA^T=12 & -6 & 30 & 4 & 2, 2C=2 & 8 & 46 & 2 & 10
BA^T -2C=10 & -14 & -1-6 & 2 & -8, (BA^T -2C)^T =10 & -6-14 & 2-1 & -8

Passo 15

(o) Calcular B^Tl(CC^T -A^T Ar).
CC^T=21 & 1717 & 35, A^T A=11 & -1-1 & 5
CC^T -A^T A=10 & 1818 & 30, B^T=4 & 0-1 & 2
B^T,(CC^T -A^T A) =40 & 7226 & 42

Passo 16

§ Calcular novamente tr(C^T A^T +2E^T). É o mesmo do item (j), logo
tr(C^T A^T +2E^T)=28

Resposta

(a) 22 & -6 & 8-2 & 4 & 610 & 0 & 4
(b) -25
(c) 21 & -72 & -18-45 & 9 & -63
(d) 12 & -3-4 & 54 & 1
(e) 168
(f) 7 & 2 & 43 & 5 & 7
(g) 9 & -13 & 01 & 2 & 1-1 & -4 & -6
(h) 46
(i) 3 & 45 & 911 & -11 & 177 & 17 & 13
(j) 28
(k) não é possível
(m) 2 & -10 & 1113 & 2 & 54 & -3 & 13
(n) 10 & -6-14 & 2-1 & -8
(o) 40 & 7226 & 42
§ 28

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