Sejam A e B duas matrizes quadradas de ordem 4, dadas por ai j=ll1, & se i <= j 0, & se i>j, e bi j=lc1, & se i+j é mú<iplo de 3 0, & caso contrário éúá
(a) Escreva as matrizes A e B.
(b) Calcule det(2 A-B).
(c) Encontre a matriz C tal que A-2 I^2=B^t+C, onde I é a matriz identidade de ordem 4 e B^t é a matriz transposta de B.
(d) Mostre que a matriz A é inversível, em seguida, determine, utilizando operações elementares, (12 A)^-1.

Passo 1

O enunciado define duas matrizes quadradas de ordem
Pede (a) escrever , (b) , (c) achar em
(d) mostrar que é invertível e calcular .

Passo 2

As matrizes A e B são
A= 1&1&1&1 0&1&1&1 0&0&1&1 0&0&0&1 ,
B=l[bijr]i,j=1^4 = 0&1&0&0 1&0&0&1 0&0&1&0 0&1&0&0

Passo 3

Definimos M=2A-B. Calculando termo a termo,
M= 2&1&2&2 -1&2&2&1 0&0&1&2 0&-1&0&2
Expandindo por co\fatores na primeira coluna, obtemos
det M =2det!2&2&10&1&2-1&0&2 +1det!1&2&20&1&2-1&0&2 =2cdot1+1cdot0=2

Passo 4

Da equação
A-2I^2=B^t+C,
como I^2=I e B^t=B, segue
C=A-2I-B
Calculando termo a termo:
C= -1&0&1&1 -1&-1&1&0 0&0&-2&1 0&-1&0&-1

Passo 5

Como A é triangular superior com pivôs todos iguais a 1, tem det A=1neq0, logo é invertível. Usamos ainda que A=I+N com N estritamente superior triangular e N^4=0, então
A^-1=I-N+N^2-N^3 = 1&-1&1&-1 0&1&-1&1 0&0&1&-1 0&0&0&1
Logo
l(tfrac12Ar)^-1 =2,A^-1 = 2&-2&2&-2 0&2&-2&2 0&0&2&-2 0&0&0&2

Resposta

(a)
A= 1&1&1&1 0&1&1&1 0&0&1&1 0&0&0&1 , B= 0&1&0&0 1&0&0&1 0&0&1&0 0&1&0&0
(b) det(2A-B)=2
(c)
C= -1&0&1&1 -1&-1&1&0 0&0&-2&1 0&-1&0&-1
(d) A é invertível ( det A=1) e
l(tfrac12Ar)^-1 = 2&-2&2&-2 0&2&-2&2 0&0&2&-2 0&0&0&2

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