Sejam e duas matrizes quadradas de ordem 4, dadas por e bi j=lc1, & se i+j é mú<iplo de 3 0, & caso contrário éúá
(a) Escreva as matrizes A e B.
(b) Calcule det(2 A-B).
(c) Encontre a matriz C tal que A-2 I^2=B^t+C, onde I é a matriz identidade de ordem 4 e B^t é a matriz transposta de B.
(d) Mostre que a matriz A é inversível, em seguida, determine, utilizando operações elementares, (12 A)^-1.
Passo 1
O enunciado define duas matrizes quadradas de ordem
Expandindo por co\fatores na primeira coluna, obtemos
det M =2det!2&2&10&1&2-1&0&2 +1det!1&2&20&1&2-1&0&2 =2cdot1+1cdot0=2
Passo 4
Da equação
A-2I^2=B^t+C,
como I^2=I e B^t=B, segue
C=A-2I-B
Calculando termo a termo:
C= -1&0&1&1 -1&-1&1&0 0&0&-2&1 0&-1&0&-1
Passo 5
Como A é triangular superior com pivôs todos iguais a 1, tem det A=1neq0, logo é invertível. Usamos ainda que A=I+N com N estritamente superior triangular e N^4=0, então