Sejam a, b in R, com a neq 0 e b neq 0. O |cccc0 & a & b & 1 0 & 1 & 0 & 0 a & a & 0 & b 1 & b & a & 0| se anula para algum par ordenado (a, b) ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos os parâmetros (a,b)inR^2 com aneq0 e bneq0 e precisamos verificar se o determinante
0 & a & b & 1 0 & 1 & 0 & 0 a & a & 0 & b 1 & b & a & 0
pode ser nulo. O conteúdo usado será cálculo de determinante por expansão de cofatores.

Passo 2

Expandimos o determinante ao longo da segunda linha. Só o elemento na posição (2,2) é não-nulo e vale 1, e o sinal de cofactor é (-1)^2+2=+1. Logo
det = 1;cdot 0 & b & 1 a & 0 & b 1 & a & 0

Passo 3

Denotando
M= 0 & b & 1 a & 0 & b 1 & a & 0 ,
calcula-se
det(M) =0cdot(0cdot0 - bcdot a) - bcdot(acdot0 - bcdot1) +1cdot(acdot a - 0cdot1) = b^2 + a^2

Passo 4

Portanto
det = a^2 + b^2
Como aneq0 e bneq0 são reais, temos a^2+b^2>0, ou seja, o determinante nunca se anula.

Resposta

Não existe par (a,b) com aneq0 e bneq0 que torne o determinante igual a zero.

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