Construir um isomorfismo entre espaços vetorias de matrizes simetricos de ordem 2,
, e polinômios de grau
.
Passo 1
O enunciado pede um isomorfismo entre o espaço
das matrizes simétricas
e o espaço
dos polinômios de grau no máximo
. Ambos têm dimensão
, então basta exibir uma transformação linear que seja bijetiva. Vamos usar o método de associar uma base de
a uma base de
.
Passo 2
Escolhemos como base de
as três matrizes
Qualquer
pode ser escrito de modo único como
com
.
Passo 3
Como base de
tomamos o conjunto
pois todo polinômio de grau
tem forma única
.
Passo 4
Definimos o mapeamento
mandando cada vetor da base em um vetor da outra base:
e estendemos
por linearidade a todo
.
Passo 5
Por construção
é linear (soma de matrizes vai para soma de polinômios e escalar na matriz vira escalar no polinômio) e envia uma base em outra base. Logo
é bijetiva e, portanto, é um isomorfismo de espaços vetoriais.
Resposta
Uma fórmula explícita é: para
definimos
Esse
é um isomorfismo entre
e
.