Construir um isomorfismo entre espaços vetorias de matrizes simetricos de ordem 2, Sym(2), e polinômios de grau <= 2, P2(t).

Passo 1

O enunciado pede um isomorfismo entre o espaço Sym(2) das matrizes simétricas 2times2 e o espaço P2(t) dos polinômios de grau no máximo 2. Ambos têm dimensão 3, então basta exibir uma transformação linear que seja bijetiva. Vamos usar o método de associar uma base de Sym(2) a uma base de P2(t).

Passo 2

Escolhemos como base de Sym(2) as três matrizes
E11 = 1 & 00 & 0, E12 = 0 & 11 & 0, E22 = 0 & 00 & 1
Qualquer AinSym(2) pode ser escrito de modo único como
A = a,E11 + b,E12 + c,E22,
com a,b,cinR.

Passo 3

Como base de P2(t) tomamos o conjunto
,1,;t,;t^2,
pois todo polinômio de grau <=2 tem forma única p(t)=alpha + beta,t + gamma,t^2.

Passo 4

Definimos o mapeamento varphicolon Sym(2)to P2(t) mandando cada vetor da base em um vetor da outra base:
varphi(E11) = 1, varphi(E12) = t, varphi(E22) = t^2,
e estendemos varphi por linearidade a todo Sym(2).

Passo 5

Por construção varphi é linear (soma de matrizes vai para soma de polinômios e escalar na matriz vira escalar no polinômio) e envia uma base em outra base. Logo varphi é bijetiva e, portanto, é um isomorfismo de espaços vetoriais.

Resposta

Uma fórmula explícita é: para
definimos
Esse é um isomorfismo entre e .

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