Seja RA: Mat(2) Mat(2) um operador linear no espaço vetorial de matrizes quadradas de orderm 2 , definido como RA(B)=B A, onde B in Mat(2) e
A=(cc 1 & -1 0 & 1 )
Achar a matriz RA desse operador na base canonica de Mat(2).

Passo 1

O enunciado define o operador linear RA:Mat(2)toMat(2) dado por
RA(B)=B,A,
onde
A=1 & -1[6pt]0 & 1
O espaço Mat(2) tem dimensão 4, e vamos representá-lo na base canônica
E11,E12,E21,E22, onde Eij é a matriz com 1 na posição (i,j) e 0 nas demais. Nosso objetivo é encontrar a matriz RA de RA nessa base.]

Passo 2

Listamos as matrizes da base canônica e calculamos sua imagem por RA.
As quatro matrizes são
E11=1&00&0, E12=0&10&0, E21=0&01&0, E22=0&00&1

Passo 3

Calculamos RA(Eij)=Eij,A:
1. E11A =1&00&01&-10&1 =1&-10&0 =1cdot E11+(-1)cdot E12 2. E12A =0&10&01&-10&1 =0&10&0 =1cdot E12 3. E21A =0&01&01&-10&1 =0&01&-1 =1cdot E21+(-1)cdot E22 4. E22A =0&00&11&-10&1 =0&00&1 =1cdot E22

Passo 4

Traduzimos cada imagem em coordenadas na base E11,E12,E21,E22. Assim:
RA(E11)mapsto1-100, RA(E12)mapsto0100, RA(E21)mapsto001-1, RA(E22)mapsto0001

Passo 5

Cada um desses vetores forma uma coluna da matriz RA. Logo,
RA = 1 & 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & 1

Resposta

RA = 1 & 0 & 0 & 0 -1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & -1 & 1

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