Encontre matrizes elementares E1, E2, E3, E4 tais que:
(a) E1 A=B
(b) E2 B=A
(c) E3 A=C
(d) E4 C=A
(e) É possível encontrar uma matriz elementar E tal que E B=C ? Justifique.
Passo 1
O enunciado nos dá três matrizes A, B e C de ordem 3 e pede para encontrar matrizes elementares E1,E2,E3,E4 tais que
(a) E1A=B,
(b) E2B=A,
(c) E3A=C,
(d) E4C=A,
além de perguntar se existe matriz elementar E com EB=C.
Para isso, vamos lembrar que toda matriz elementar corresponde a uma operação de linha (troca de linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo ou adicionar múltiplo de uma linha a outra).
Passo 2
Para ir de A a B basta trocar a linha 1 pela linha 3. A matriz elementar que faz essa troca é obtida permutando as linhas 1 e 3 da identidade:
Para voltar de B a A basta trocar de novo a linha 1 com a linha 3. Ou seja, a inversa de E1 é ela mesma, pois trocar duas vezes retorna à matriz original. Logo
E2=E1 = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 ,
e E2B=A.
Passo 4
Para ir de A a C observamos que C difere de A apenas na linha 3:
Alin3=(8,1,5), Clin3=(2,-7,3)
Bastará executar
linha3;longrightarrow;linha3 -2timeslinha1,
pois (8,1,5)-2,(3,4,1)=(2,-7,3). A matriz elementar correspondente é
E3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -2 & 0 & 1 ,
e verifica-se que E3A=C.
Passo 5
Para ir de C a A basta inverter a operação anterior, ou seja,
linha3;longrightarrow;linha3 +2timeslinha1
A matriz elementar é
E4 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 2 & 0 & 1 ,
e de fato E4C=A.
Passo 6
Para verificar se existe matriz elementar E tal que EB=C, note que B e C diferem em duas linhas simultaneamente (linha 1 e linha 3). Mas cada matriz elementar corresponde a apenas uma operação de linha simples, que afeta no máximo uma linha (no caso de adicionar múltiplo) ou troca duas linhas (no caso de permutar). Não há única operação de linha que modifique duas linhas diferentes simultaneamente para levar B em C. Portanto não existe matriz elementar E com EB=C.
Resposta
(a)
E1 = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 ,
(b)
E2 = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 ,
(c)
E3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -2 & 0 & 1 ,
(d)
E4 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 2 & 0 & 1 ,
(e) Não existe matriz elementar E tal que EB=C, porque seria necessário alterar duas linhas de B ao mesmo tempo com uma única operação de linha.