Quais das seguintes matrizes são elementares? Justifique.
\left[ llll2 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a matriz
A = 2 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1
é uma matriz elementar. Vamos lembrar que uma matriz elementar é obtida ao aplicar uma única operação elementar de linha na matriz identidade I.

Passo 2

Existem três tipos de matriz elementar, cada uma com exatamente uma diferença em relação a I:
  1. Troca de duas linhas Ri rightarrow Rj:
    ;E é igual à identidade, exceto que as linhas i e j estão trocadas.
  2. Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo c:
    ;E é igual à identidade, exceto que o elemento Eii=c em vez de 1.
  3. Adição de c vezes a linha j à linha i:
    ;E é igual à identidade, exceto que o elemento Eij=c e todas as outras entradas da identidade permanecem iguais.

Passo 3

Comparemos A com I:
  • Em I, a primeira linha é (1,0,0,0). Em A, a primeira linha é (2,0,0,2).
  • Há duas diferenças nesta linha: o elemento (1,1) é 2 em vez de 1, e o elemento (1,4) é 2 em vez de 0.
Isso significa que, em relação a I, foram realizadas duas modificações:
  • escalar a linha 1 por 2 (mudança em (1,1)),
  • e adicionar 2 vezes a linha 4 à linha 1 (mudança em (1,4)).

Passo 4

Como cada matriz elementar deve refletir apenas uma dessas operações isoladamente, mas A combina duas operações, concluímos que não se trata de uma única matriz elementar.

Resposta

A matriz A não é elementar, pois difere de I por duas alterações simultâneas de linha em vez de apenas uma.

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