Quais das seguintes matrizes são elementares? Justifique.
\left[\right]
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a matriz
é uma matriz elementar. Vamos lembrar que uma matriz elementar é obtida ao aplicar uma única operação elementar de linha na matriz identidade I.
Passo 2
Existem três tipos de matriz elementar, cada uma com exatamente uma diferença em relação a I:
Troca de duas linhas Ri rightarrow Rj: ;E é igual à identidade, exceto que as linhas i e j estão trocadas.
Multiplicação de uma linha por um escalar não nulo c: ;E é igual à identidade, exceto que o elemento Eii=c em vez de 1.
Adição de c vezes a linha j à linha i: ;E é igual à identidade, exceto que o elemento Eij=c e todas as outras entradas da identidade permanecem iguais.
Passo 3
Comparemos A com I:
Em I, a primeira linha é (1,0,0,0). Em A, a primeira linha é (2,0,0,2).
Há duas diferenças nesta linha: o elemento (1,1) é 2 em vez de 1, e o elemento (1,4) é 2 em vez de 0.
Isso significa que, em relação a I, foram realizadas duas modificações:
escalar a linha 1 por 2 (mudança em (1,1)),
e adicionar 2 vezes a linha 4 à linha 1 (mudança em (1,4)).
Passo 4
Como cada matriz elementar deve refletir apenas uma dessas operações isoladamente, mas A combina duas operações, concluímos que não se trata de uma única matriz elementar.
Resposta
A matriz Anão é elementar, pois difere de I por duas alterações simultâneas de linha em vez de apenas uma.