Use o método
para encontrar a inversa da matriz, se for invertível, e confira a resposta por multiplicação. Caso não seja invertível, justifique.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a inversa de
A = -3 & 6 4 & 5
pela técnica de matriz aumentada
l[A mid I2r]tol[I2mid A^-1r]
e depois conferir por multiplicação. Como a matriz é 2times2, também podemos checar que o determinante
det(A)=(-3)cdot5 - 6cdot4 = -15 - 24 = -39 neq 0
é não nulo, logo A é invertível.

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada inicial:
[cc|cc -3 & 6 & 1 & 0 4 & 5 & 0 & 1 ]

Passo 3

Normalizamos o pivô da primeira linha dividindo R1 por -3:
R1 -tfrac13R1
[cc|cc 1 & -2 & -tfrac13 & 0 4 & 5 & 0 & 1 ]

Passo 4

Eliminamos o elemento abaixo do pivô na coluna 1 com
R2 R2 - 4,R1
[cc|cc 1 & -2 & -tfrac13 & 0 0 & 13 & tfrac43 & 1 ]

Passo 5

Normalizamos o pivô da segunda linha dividindo R2 por 13:
R2 tfrac113R2
[cc|cc 1 & -2 & -tfrac13 & 0 0 & 1 & tfrac439 & tfrac113 ]

Passo 6

Eliminamos o elemento acima do pivô na coluna 2 com
R1 R1 + 2,R2
[cc|cc 1 & 0 & -tfrac13 + 2cdottfrac439 & 0 + 2cdottfrac113 0 & 1 & tfrac439 & tfrac113 ] = [cc|cc 1 & 0 & -tfrac1339 + tfrac839 & tfrac213 0 & 1 & tfrac439 & tfrac113 ] = [cc|cc 1 & 0 & -tfrac539 & tfrac639 0 & 1 & tfrac439 & tfrac113 ]

Passo 7

Agora a parte esquerda é I2 e a direita é A^-1, ou seja,
A^-1 = -tfrac539 & tfrac639 tfrac439 & tfrac113
Para conferir, multiplica-se A por A^-1 e obtém-se I2.

Resposta

A^-1 = -tfrac539 & tfrac639 tfrac439 & tfrac113

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