Considere as matrizes A=[ccc1 & 0 & -2 -3 & 1 & 1 2 & 0 & -1] e B=[ccc2 & 3 & 0 1 & -1 & 1 -1 & 6 & 4].
(a) Calcule as colunas de A B na forma A Ci(B), i=1,2,3 e verifique que cada coluna de A B é uma combinação da forma r C1(A)+s C2(A)+t C3(A), onde Ci(A) são as colunas de A.
(b) Calcule as linhas de A B na forma Li(A) B, i=1,2,3 e verifique que cada linha de A B é uma combinação da forma r L1(B)+s L2(B)+t L3(B), onde. Justifique que isto sempre acontece assim.
Lembre que Li(A) e Cj(A) é a notação para as linhas e colunas de A respectivamente e idem para B.

Passo 1

O enunciado pede para explorar a propriedade de que, na multiplicação de matrizes AB, cada coluna de AB pode ser obtida como
A,Ci(B),
onde Ci(B) é a i-ésima coluna de B, e em seguida verificar que esse resultado é uma combinação linear das colunas de A. Na parte (b), devemos fazer o análogo para as linhas: cada linha de AB é
Li(A),B,
onde Li(A) é a i-ésima linha de A, e então mostrar que isso é combinação linear das linhas de B. O conteúdo usado aqui é a bilinearidade da multiplicação de matrizes.

Passo 2

Vamos primeiro extrair as colunas de B e calcular
A,Ci(B), i=1,2,3
C1(B)=21-1, A,C1(B) = 1cdot2+0cdot1+(-2)cdot(-1) -3cdot2+1cdot1+1cdot(-1) 2cdot2+0cdot1+(-1)cdot(-1) =4-65
C2(B)=3-16, A,C2(B) = 1cdot3+0cdot(-1)+(-2)cdot6 -3cdot3+1cdot(-1)+1cdot6 2cdot3+0cdot(-1)+(-1)cdot6 =-9-40
C3(B)=014, A,C3(B) = 1cdot0+0cdot1+(-2)cdot4 -3cdot0+1cdot1+1cdot4 2cdot0+0cdot1+(-1)cdot4 =-85-4

Passo 3

Agora escrevemos cada uma dessas colunas como combinação linear das colunas de
A=l[,C1(A);;C2(A);;C3(A)r],
onde
C1(A)=1-32,; C2(A)=010,; C3(A)=-21-1
Verificamos:
4-65 =2,C1(A)+1,C2(A)-1,C3(A),
-9-40 =3,C1(A)-1,C2(A)+6,C3(A),
-85-4 =0,C1(A)+1,C2(A)+4,C3(A)
Isso mostra a propriedade pedida em (a).

Passo 4

Para a parte (b), extraímos as linhas de A,
L1(A)=(1;;0;;-2), L2(A)=(-3;;1;;1), L3(A)=(2;;0;;-1),
e calculamos
Li(A),B, i=1,2,3
L1(A),B =(1;0;-2)2&3&01&-1&1-1&6&4 =(4,;-9,;-8),
L2(A),B =(-3;1;1)B =(-6+1-1,;-9-1+6,;0+1+4) =(-6,;-4,;5),
L3(A),B =(2;0;-1)B =(4+0+1,;6+0-6,;0+0-4) =(5,;0,;-4)

Passo 5

Agora vemos que cada linha de é combinação das linhas de :
E de fato
)

Passo 6

Justificativa geral: a multiplicação de matrizes é bilinear, ou seja, é linear em cada coluna de B (o que dá combinações das colunas de A) e linear em cada linha de A (o que dá combinações das linhas de B). Por isso os resultados acima valem para qualquer par de matrizes compatíveis.

Resposta

(a) As colunas de AB são
AC1(B)=4-65, AC2(B)=-9-40, AC3(B)=-85-4,
e elas se expressam como
2,C1(A)+1,C2(A)-1,C3(A), 3,C1(A)-1,C2(A)+6,C3(A), 0,C1(A)+1,C2(A)+4,C3(A),
respectivamente.
(b) As linhas de AB são
L1(A)B=(4,-9,-8), L2(A)B=(-6,-4,5), L3(A)B=(5,0,-4),
e se expressam como combinações das linhas de B:
1,L1(B)+0,L2(B)-2,L3(B), -3,L1(B)+1,L2(B)+1,L3(B), 2,L1(B)+0,L2(B)-1,L3(B)

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