Considere as matrizes e B=[ccc2 & 3 & 0 1 & -1 & 1 -1 & 6 & 4].
(a) Calcule as colunas de A B na forma A Ci(B), i=1,2,3 e verifique que cada coluna de A B é uma combinação da forma r C1(A)+s C2(A)+t C3(A), onde Ci(A) são as colunas de A.
(b) Calcule as linhas de A B na forma Li(A) B, i=1,2,3 e verifique que cada linha de A B é uma combinação da forma r L1(B)+s L2(B)+t L3(B), onde. Justifique que isto sempre acontece assim.
Lembre que Li(A) e Cj(A) é a notação para as linhas e colunas de A respectivamente e idem para B.
Passo 1
O enunciado pede para explorar a propriedade de que, na multiplicação de matrizes AB, cada coluna de AB pode ser obtida como
A,Ci(B),
onde Ci(B) é a i-ésima coluna de B, e em seguida verificar que esse resultado é uma combinação linear das colunas de A. Na parte (b), devemos fazer o análogo para as linhas: cada linha de AB é
Li(A),B,
onde Li(A) é a i-ésima linha de A, e então mostrar que isso é combinação linear das linhas de B. O conteúdo usado aqui é a bilinearidade da multiplicação de matrizes.
Agora vemos que cada linha de é combinação das linhas de :
E de fato
)
Passo 6
Justificativa geral: a multiplicação de matrizes é bilinear, ou seja, é linear em cada coluna de B (o que dá combinações das colunas de A) e linear em cada linha de A (o que dá combinações das linhas de B). Por isso os resultados acima valem para qualquer par de matrizes compatíveis.