Questão ( 0,8 ponto): Almejando uma alimentação diária equilibrada em vitaminas (A, Be C), deseja-se consumir 159 unidades de vitamina A, 157 unidades de B e 140 unidades de na ingestão de três alimentos (I, II e III) por dia. Cada alimento tem certo número de unidades de cada vitamina por grama, como mostra a tabela seguinte:
Alimento I
Alimento II
Alimento III
Vitamina A
4
3
1
Vitamina B
3
0
4
Vitamina C
0
2
5
As quantidades (em gramas) , e dos alimentos I, II e III, respectivamente, que devem ser ingeridas para que seja atingido o consumo de vitaminas desejado podem ser determinadas pelo sistema
Calcule a solução desse sistema.
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente quer saber quantas gramas de cada um dos três alimentos (I, II e III) precisamos comer por dia para consumir exatamente 159 unidades da vitamina A, 157 da B e 140 da C. Para isso, temos uma tabela que mostra quantas unidades de cada vitamina cada alimento tem por grama. Vamos resolver esse problema usando sistemas de equações lineares, que é o conteúdo que vamos precisar aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir a tabela para um sistema de equações. Cada linha da tabela representa uma vitamina e como ela se relaciona com os alimentos. Então, temos:
4x + 3y + 1z = 159 (Vitamina A) 3x + 0y + 4z = 157 (Vitamina B) 0x + 2y + 5z = 140 (Vitamina C)
Aqui, x , y e z são as quantidades de alimentos I, II e III que precisamos descobrir.
Passo 3
Vamos começar resolvendo a segunda equação, que é mais simples porque não tem o termo y :
3x + 4z = 157
Podemos isolar x :
3x = 157 - 4z x = 157 - 4z3
Passo 4
Agora, vamos usar a terceira equação para encontrar y em termos de z :
2y + 5z = 140
Isolando y :
2y = 140 - 5z y = 140 - 5z2
Passo 5
Com x e y expressos em termos de z , vamos substituir esses valores na primeira equação para encontrar z :
4x + 3y + z = 159
Substituindo x e y :
4( 157 - 4z3 ) + 3( 140 - 5z2 ) + z = 159
Passo 6
Vamos simplificar essa equação. Primeiro, multiplicamos os termos:
4(157 - 4z)3 + 3(140 - 5z)2 + z = 159
Calculando os numeradores:
628 - 16z3 + 420 - 15z2 + z = 159
Passo 7
Para facilitar, vamos eliminar os denominadores multiplicando toda a equação por 6 (o mínimo múltiplo comum de 3 e 2):
-71z = 954 - 2516 -71z = -1562 z = -1562-71 z = 22
Passo 10
Agora que temos z = 22 , vamos encontrar y usando a equação do Passo 4:
y = 140 - 5z2 = 140 - 5 times 222 = 140 - 1102 = 302 = 15
Passo 11
Por fim, vamos encontrar x usando a equação do Passo 3:
x = 157 - 4z3 = 157 - 4 times 223 = 157 - 883 = 693 = 23
Resposta
Para atingir o consumo desejado de vitaminas, devem ser ingeridos 23 gramas do Alimento I, 15 gramas do Alimento II e 22 gramas do Alimento III por dia.