Verifique, em cada caso, se o conjunto W é um subespaço vetorial de R[x] :
W=p(x)=a+b x+c x^2 ; a, b, c in R;

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial R[x] de todos os polinômios com coeficientes reais e o subconjunto
W = ,p(x)=a + b x + c x^2 mid a,b,cinR
Queremos verificar se W é subespaço vetorial de R[x]. Para isso, usamos o teste de subespaço: (i) 0in W, (ii) u,vin Wimplies u+vin W, (iii) uin W,;alphainRimplies alpha uin W.

Passo 2

Verificamos que o polinômio zero 0(x)=0 obtém-se com a=b=c=0, logo 0(x)in W. Isso garante a existência do vetor nulo em W.

Passo 3

Sejam p1(x)=a1+b1x+c1x^2 e p2(x)=a2+b2x+c2x^2 dois elementos de W. Então
p1(x)+p2(x)=(a1+a2)+(b1+b2)x+(c1+c2)x^2,
que ainda é um polinômio de grau <=2. Portanto p1+p2in W, mostrando a fechadura sob soma.

Passo 4

Para alphainR e p(x)=a+bx+cx^2in W temos
alpha,p(x)=(alpha a)+(alpha b)x+(alpha c)x^2,
que continua sendo um polinômio de grau <=2. Logo alpha pin W, mostrando a fechadura sob multiplicação escalar.

Resposta

O conjunto W é subespaço vetorial de R[x].

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