Considere as matrizes A=[ccc1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & -5] e C=[ccc1 & 2 & -4 -1 & -1 & 5 2 & 7 & -3]
(a) Encontre, se existir, a inversa das matrizes A e C
(b) O sistema associado à matriz A, A X=B, e o sistema associado a matriz C, C X=D, não possuem solução, possuem única solução ou possuem infinitas soluções? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas de ordem 3,
A = 1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & -5 e C = 1 & 2 & -4 -1 & -1 & 5 2 & 7 & -3 ,
pede (a) calcular, se existirem, as inversas A^-1 e C^-1 e (b) classificar a existência de soluções dos sistemas A X = B e C X = D.

Passo 2

Para uma matriz quadrada M de ordem 3, ela é invertível se, e somente se, det(M)neq 0. Quando det(M)neq 0, o sistema M X = Y tem solução única para qualquer vetor Y.

Passo 3

Calcular det(A) pela regra de Sarrus ou pelos menores:
det(A) =1cdotl((-1)(-5)-5cdot1r) -2cdotl(3(-5)-5cdot4r) +(-3)cdotl(3cdot1-(-1)cdot4r) =0 +70 -21 =49
Como det(A)=49neq0, a matriz A é invertível.

Passo 4

Usamos o método dos cofatores para encontrar A^-1. O produto da matriz dos cofatores transposta (adjugada) de A por 1/det(A)
A^-1 =149 0 & 7 & 7 35 & 7 & -14 7 & 7 & -7 = 0 & tfrac17 & tfrac17[6pt] tfrac57 & tfrac17 & -tfrac27[6pt] tfrac17 & tfrac17 & -tfrac17 ]

Passo 5

Agora det(C):
det(C) =1cdotl((-1)(-3)-5cdot7r) -2cdotl((-1)(-3)-5cdot2r) +(-4)cdotl((-1)cdot7-(-1)cdot2r) =-32+14+20 =2
Como det(C)=2neq0, a matriz C também é invertível.

Passo 6

Calculando a adjugada de C e dividindo por det(C)=2, obtemos
C^-1 =12 -32 & -22 & 6 7 & 5 & -1 -5 & -3 & 1 = -16 & -11 & 3[3pt] tfrac72 & tfrac52 & -tfrac12[3pt] -tfrac52 & -tfrac32 & tfrac12 ]

Passo 7

Como det(A)neq0 e det(C)neq0, ambas as matrizes são invertíveis. Logo, para qualquer escolha de vetores B e D, os sistemas
A X = B e C X = D
têm sempre solução única.

Resposta

(a)
A^-1 = 0 & tfrac17 & tfrac17 tfrac57 & tfrac17 & -tfrac27 tfrac17 & tfrac17 & -tfrac17 , C^-1 = -16 & -11 & 3 tfrac72 & tfrac52 & -tfrac12 -tfrac52 & -tfrac32 & tfrac12
(b) Como ambas têm determinante não nulo, os sistemas associados têm única solução.

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