Se possível, encontre a matriz inversa e a matriz adjunta das seguintes matrizes. Calcule o determinante das matrizes dadas bem como das inversas e das adjuntas.
[cccc1 & 1 & 1 & 1 1 & 3 & 1 & 2 1 & 2 & -1 & 1 5 & 9 & 1 & 6]

Passo 1

O enunciado pede a inversa A^-1 e a adjunta (classical adjoint) adj(A) de
A= 1 & 1 & 1 & 1 1 & 3 & 1 & 2 1 & 2 & -1 & 1 5 & 9 & 1 & 6 ,
além dos determinantes de A, de A^-1 e de adj(A). Para isso vamos usar: (i) definição de determinante por redução de linhas e expansão, (ii) critério de existência de inversa ( det(A)neq0), (iii) definição de cofatores e adjunta ( adj(A)=C^T), (iv) propriedade det(adj(A))=det(A)^n-1 em dimensão n.

Passo 2

Calculemos det(A). Subtraindo a 1.ª linha das linhas 2 e 3, e 5 vezes a 1.ª linha da linha 4, obtemos uma forma triangular cujo determinante é o mesmo de A. Expandindo along a 1.ª coluna encontramos
det(A) =1cdot det2&0&11&-2&04&-4&1 =1l((-4)+4r) =0

Passo 3

Como det(A)=0, a matriz é singular e não existe A^-1.

Passo 4

Vamos calcular a adjunta adj(A). Primeiro determinamos a matriz de cofatores C=(Cij) com
Cij=(-1)^i+jdetl(Mijr),
onde Mij é o menor de ordem 3 eliminando linha i e coluna j. O cálculo dá
C= -2 & -4 & -2 & 8 -1 & -2 & -1 & 4 -2 & -4 & -2 & 8 1 & 2 & 1 & -4
Portanto
adj(A)=C^T = -2 & -1 & -2 & 1 -4 & -2 & -4 & 2 -2 & -1 & -2 & 1 8 & 4 & 8 & -4

Passo 5

Finalmente, como não há inversa, det(A^-1) não está definido. Para a adjunta usamos
detl(adj(A)r)=det(A)^n-1 =det(A)^3=0^3=0

Resposta

determinante de A: 0 A^-1: não existe (matriz singular)
adj(A):
-2 & -1 & -2 & 1 -4 & -2 & -4 & 2 -2 & -1 & -2 & 1 8 & 4 & 8 & -4
determinante de A^-1: não definido
determinante de adj(A): 0

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