Se possível, encontre a matriz inversa e a matriz adjunta das seguintes matrizes. Calcule o determinante das matrizes dadas bem como das inversas e das adjuntas.
[cccc1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & -1 & 2 1 & -1 & 2 & 1 1 & 3 & 3 & 2]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & -1 & 2 1 & -1 & 2 & 1 1 & 3 & 3 & 2
e pede (i) det(A), (ii) a matriz adjunta adj(A), (iii) a inversa A^-1, (iv) det(A^-1) e (v) det(adj(A)).
Para isso vamos usar:
  • O método de operações de linha e expansão para det(A).
  • A definição de cofactores Cij=(-1)^i+jMij e adj(A)=C^T.
  • A relação A^-1=tfrac1det(A),adj(A).
  • As propriedades det(A^-1)=(det A)^-1 e det(adj(A))=(det A)^n-1 em dimensão n=4.

Passo 2

Primeiro calculamos det(A). Subtraindo a primeira linha de cada uma das outras linhas, obtemos equivalente a
1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & -2 & 1 0 & -2 & 1 & 0 0 & 2 & 2 & 1
Expandindo pelo primeiro pivô 1, fica
det(A) =1cdot det 1 & -2 & 1 -2 & 1 & 0 2 & 2 & 1
Calculando esse determinante 3times 3 por regra de Sarrus ou fórmula, obtemos -9.
Portanto
det(A) = -9

Passo 3

Agora montamos a matriz de cofactores C=(Cij). Cada Cij=(-1)^i+jdet(Mij), onde Mij é o menor de ordem 3 obtido removendo-se a i-ésima linha e j-ésima coluna de A. O cálculo direto dá
C = -21 & -4 & 1 & 15 3 & 1 & 2 & -6 3 & 4 & -1 & -6 6 & -1 & 3 & -3
A adjunta é a transposta dessa matriz de cofactores:
adj(A) = C^T = -21 & 3 & 3 & 6 -4 & 1 & 4 & -1 1 & 2 & -1 & 3 15 & -6 & -6 & -3

Passo 4

Usando
A^-1 ;=;1det(A),adj(A) ;=;-tfrac19,adj(A),
temos
A^-1 = -tfrac19 -21 & 3 & 3 & 6 -4 & 1 & 4 & -1 1 & 2 & -1 & 3 15 & -6 & -6 & -3 = 73 & -13 & -13 & -23[6pt] 49 & -19 & -49 & 19[6pt] -19 & -29 & 19 & -13[6pt] -53 & 23 & 23 & 13 ]

Passo 5

Pelas propriedades de determinantes em matrizes inversas e adjuntas temos
det(A^-1) = 1det(A) = -tfrac19, det(adj(A)) = (det A)^n-1 = (-9)^3 = -729

Resposta

det(A) = -9
adj(A) = -21 & 3 & 3 & 6 -4 & 1 & 4 & -1 1 & 2 & -1 & 3 15 & -6 & -6 & -3 A^-1 = 73 & -13 & -13 & -23[2pt] 49 & -19 & -49 & 19[2pt] -19 & -29 & 19 & -13[2pt] -53 & 23 & 23 & 13
det(A^-1) = -tfrac19, det(adj(A)) = -729.
]

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