Considere as matrizes
A=[ccccc 2 & 5 & -1 & 3 & 1 0 & 3 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & 1 & 7 & 2 * & * & * & * & * * & * & * & * & * ], B=[ccccc 2 & 5 & -1 & 3 & 1 0 & 3 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & 1 & 7 & 2 0 & 0 & * & * & * 0 & 0 & * & * & * 0 & 0 & * & * & * ]
(b) Mostre que vale a igualdade posto(B)=3 se, e somente se, as linhas L4, L5 e L6 de B forem múltiplas da linha L3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, na matriz
B= 2 & 5 & -1 & 3 & 1 0 & 3 & 1 & -1 & 2 0 & 0 & 1 & 7 & 2 0 & 0 & * & * & * 0 & 0 & * & * & * 0 & 0 & * & * & * ,
vale
posto(B)=3 Long<=ftrightarrow L4,L5,L6 são mú<iplas de L3 ãú
O conteúdo utilizado será posto de matriz e combinação linear de linhas.

Passo 2

Note que as três primeiras linhas de B formam uma submatriz triangular superior 3times 3 com pivôs não nulos. Portanto essas três linhas são linearmente independentes e
posto(B)>=3

Passo 3

Se posto(B)=3, então nenhuma das linhas L4,L5,L6 pode acrescentar dimensão extra ao espaço gerado por L1,L2,L3. Logo cada linha adicional Lk (com k=4,5,6) é combinação linear
Lk = alpha,L1 + beta,L2 + gamma,L3
Mas as duas primeiras componentes de Lk são zero, então, olhando para as componentes 1 e 2, vem
2alpha = 0, 5alpha + 3beta=0 Longrightarrow alpha=0, beta=0
Assim Lk=gamma,L3, ou seja, Lk é múltipla de L3.

Passo 4

Reciprocamente, se cada linha L4,L5,L6 é múltipla de L3, então elas pertencem ao espaço gerado por L1,L2,L3 e não aumentam o número de linhas independentes. Logo
posto(B)=3

Resposta

Mostrou-se que posto(B)=3 se, e somente se, cada uma das linhas L4,L5,L6 de B for múltipla da linha L3.

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