underbrace[ccccc 0 & a12 & 4 & 1 & a15 1 & a22 & 2 & -1 & a25 3 & -1 & 2 & 3 & a35 0 & a42 & 0 & 0 & 1 ]A[c X1 X2 X3 X4 X5 ]=underbrace[c b1 b2 b3 b4 ]b
Sabe-se que o conjunto solução deste sistema linear é o subespaço afim do R^5 dado por
A=(1,0,1,1,0)+lambda cdot(0,1,0,1,1): lambda in R
Decida se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
(a) Não há informações suficientes para se conhecer os números b1, b2, b3, b4.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear A,X=b com
A= 0 & a12 & 4 & 1 & a15 1 & a22 & 2 & -1 & a25 3 & -1 & 2 & 3 & a35 0 & a42 & 0 & 0 & 1 , X=(X1,X2,X3,X4,X5)^T, b=(b1,b2,b3,b4)^T,
e informa que o conjunto solução é o subespaço afim
A=(1,0,1,1,0)+lambda,(0,1,0,1,1):lambdainR
O conteúdo aqui é reconhecer que (1,0,1,1,0) é uma solução particular e (0,1,0,1,1) gera o espaço nulo de A. Precisamos usar isso para decidir se conhecemos ou não b1,b2,b3,b4.

Passo 2

Como todo elemento da solução tem a forma
X = p + lambda v,
com
p=(1,0,1,1,0), v=(0,1,0,1,1),
seguem-se duas propriedades padrão de sistemas lineares:
  1. A,p=b (pois p é uma solução particular).
  2. A,v=0 (pois v está no núcleo de A).

Passo 3

Da relação A,p=b vemos que cada coordenada bi é expressa em termos das linhas de A e das componentes de p. Ou seja,
b=A,p
é único, mas depende dos coeficientes a12,a15,a22,dots,a42 que ainda não conhecemos.

Passo 4

Como vários aij de A são desconhecidos, não há como calcular numericamente b1,b2,b3,b4. Tudo o que sabemos é que eles satisfazem b=A,p, mas sem valores de A não há informação suficiente.

Resposta

(a) Verdadeiro.

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