Considere as matrizes v1, v2, v3, v4 e w definidas abaixo:
v1=[ll 4 & 3 2 & 1 ], v2=[ll 3 & 2 1 & 0 ], v3=[ll 2 & 1 0 & 0 ], v4=[ll 1 & 0 0 & 0 ] e w=[ll 0 & 0 1 & 1 ]
Se (a, b, c, d) são as coordenadas de w com respeito à base v1, v2, v3, v4 do espaço vetorial M2(R), então a-b-c+d é igual a

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas (a,b,c,d) de
w = 0 & 01 & 1
na base v1,v2,v3,v4 de M2( R), onde
v1=4 & 32 & 1,; v2=3 & 21 & 0,; v3=2 & 10 & 0,; v4=1 & 00 & 0
Para isso vamos escrever
a,v1 + b,v2 + c,v3 + d,v4 = w
e igualar cada entrada, gerando um sistema linear em a,b,c,d.

Passo 2

Calculemos a combinação
a cdot v1 + b cdot v2 + c cdot v3 + d cdot v4 = 4a+3b+2c+d & 3a+2b+c [6pt] 2a+b & a
Igualando a 0&01&1, obtemos as equações
4a + 3b + 2c + d = 0, 3a + 2b + c = 0, 2a + b = 1, a = 1
]

Passo 3

Da última equação segue
a = 1
Substituindo em 2a+b=1
2cdot1 + b = 1Longrightarrow b = -1
Em seguida 3a+2b+c=0 vira
3cdot1 + 2(-1) + c = 0Longrightarrow c = -1
Por fim 4a+3b+2c+d=0
4cdot1 +3(-1) +2(-1) + d = 0Longrightarrow d = 1

Passo 4

Agora calculamos
a - b - c + d = 1 -(-1) -(-1) + 1 = 1 +1 +1 +1 = 4

Resposta

4

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