Sejam a, b in R. Então, o conjunto a+x, 1+b x+x^2, x+a x^2 gera o espaço vetorial P2(R) se, e somente se,

Passo 1

Estamos em P2(R), que tem dimensão 3. Uma coleção de três polinômios gera todo esse espaço se, e somente se, for linearmente independente. Para verificar independência, vamos usar coordenadas na base canônica 1,x,x^2 e checar se a matriz formada pelos coeficientes tem determinante diferente de zero.

Passo 2

Denotemos os polinômios por
Na base , suas coordenadas coluna são

Passo 3

Formamos a matriz M cujas colunas são essas coordenadas:
M= a & 1 & 0 1 & b & 1 0 & 1 & a

Passo 4

Calculamos o determinante de M por expansão na primeira linha:
det M = adetb&11&a -1det1&10&a +0 = a,(ba-1)-1,(1cdot a-0) = a^2b-2a = a,(ab-2)

Passo 5

A coleção gera P2(R) se, e somente se, det Mneq0. Logo
a,(ab-2)neq0 Long<=ftrightarrow aneq0 e abneq2

Resposta

aneq0 e abneq2.

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