Sejam . Então, o conjunto gera o espaço vetorial se, e somente se,
Passo 1
Estamos em , que tem dimensão 3. Uma coleção de três polinômios gera todo esse espaço se, e somente se, for linearmente independente. Para verificar independência, vamos usar coordenadas na base canônica e checar se a matriz formada pelos coeficientes tem determinante diferente de zero.
Passo 2
Denotemos os polinômios por
Na base , suas coordenadas coluna são
Passo 3
Formamos a matriz cujas colunas são essas coordenadas:
Passo 4
Calculamos o determinante de M por expansão na primeira linha:
det M = adetb&11&a -1det1&10&a +0 = a,(ba-1)-1,(1cdot a-0) = a^2b-2a = a,(ab-2)
Passo 5
A coleção gera P2(R) se, e somente se, det Mneq0. Logo