Determine uma base e a dimensão de cada um dos subespaços vetoriais abaixo.
(v) S=(x, y, z, w, t) in R^5 mid x+y-a z+3 w+t=0 e 2 x-y+z+2 a w+5 t=0, sendo a in R.

Passo 1

O subespaço
O conteúdo aqui é espaço nulo (null space) de uma matriz (2\times5]. Para encontrar uma base e a dimensão, vamos resolver por eliminação de Gauss e expressar as variáveis pivô em função das variáveis livres.

Passo 2

Escrevendo a matriz dos coeficientes e aplicando operações de linha:
1 & 1 & -a & 3 & 1 2 & -1 & 1 & 2a & 5 ;xrightarrowL2 L2-2L1; 1 & 1 & -a & 3 & 1 0 & -3 & 1+2a & 2a-6 & 3 ;xrightarrowL2 -tfrac13L2; 1 & 1 & -a & 3 & 1 0 & 1 & -tfrac1+2a3 & -tfrac2a-63 & -1
Depois eliminamos o 1 em (1,2):
L1 L1-L2 ;longrightarrow; 1 & 0 & tfrac1-a3 & tfrac2a+33 & 2 0 & 1 & -tfrac1+2a3 & -tfrac2a-63 & -1

Passo 3

Das linhas reduzidas obtemos
x + 1-a3,z + 2a+33,w + 2,t = 0, y - 1+2a3,z - 2a-63,w - t = 0
Tomando z=s, w=r e t=u como parâmetros livres, vem
x = -1-a3,s - 2a+33,r - 2u, y = 1+2a3,s + 2a-63,r + u

Passo 4

Logo o vetor genérico em S é
(x,y,z,w,t) = s l(-tfrac1-a3,,tfrac1+2a3,,1,,0,,0r) + r l(-tfrac2a+33,,tfrac2a-63,,0,,1,,0r) + u (-2,,1,,0,,0,,1)
Dessa forma uma base de S é, por exemplo,
l l(-tfrac1-a3,,tfrac1+2a3,,1,,0,,0r), ;l(-tfrac2a+33,,tfrac2a-63,,0,,1,,0r), ;(-2,,1,,0,,0,,1) r

Passo 5

Como temos três parâmetros livres (s,r,u), a dimensão de S é
dim(S)=3

Resposta

Uma base para S é
l l(-tfrac1-a3,,tfrac1+2a3,,1,,0,,0r), ;l(-tfrac2a+33,,tfrac2a-63,,0,,1,,0r), ;(-2,,1,,0,,0,,1) r,
e dim(S)=3.

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