Considere as matrizes A=(ccc0 & -1 & 0 1 & x & 0 0 & 0 & y) e B=(ccc1 & 0 & 0 0 & 2 & -2 0 & -2 & 2). Determine:
Uma base ortogonal de autovetores de B.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortogonal de autovetores da matriz
B = 1 & 0 & 0 [6pt] 0 & 2 & -2 [6pt] 0 & -2 & 2
O conteúdo da matéria é autovalores e autovetores de matrizes simétricas, que garantem autovetores ortogonais. Para resolver, vamos calcular o polinômio característico de B, achar seus autovalores e, para cada um, determinar um autovetor.]

Passo 2

Como B é bloco-diagonal em relação à primeira linha e coluna, seu polinômio característico é
det(B - lambda I) = (1-lambda),det2-lambda & -2[3pt]-2 & 2-lambda
No bloco 2times2 temos
det2-lambda & -2[3pt]-2 & 2-lambda =(2-lambda)^2-(-2)^2 =(2-lambda)^2-4 =lambda(lambda-4)
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det(B - lambda I)=-(lambda-1),lambda,(lambda-4),
e os autovalores são
lambda=1, lambda=0 e lambda=4.]

Passo 3

Para lambda=1 resolvemos (B - I)v=0. Vê-se imediatamente que as únicas equações não-triviais envolvem zeros fora da primeira coordenada, ficando
v1=(1,0,0)
como autovetor.

Passo 4

Para
que reduz a (x_2 + x_3 = 0]. Uma escolha conveniente é

Passo 5

Para
o que dá (x_2 - x_3 = 0]. Assim escolhemos

Resposta

Uma base ortogonal de autovetores de B é
(1,0,0),;(0,1,-1),;(0,1,1)

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