Seja f: R^3 R^3 a função linear:
f(l x y z )=(c x+2 y+z -y+z x+y+2 z )
Calcule a matriz representativa de f em relação à base (-1,0,1),(1,1,2),(0,1,2) de R^3.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma função linear f: R^3 R^3 definida por
f(c x y z ) = (c x + 2y + z -y + z x + y + 2z )
O que a gente precisa descobrir é a matriz representativa dessa função em relação a uma base específica de R^3 , que é (-1,0,1), (1,1,2), (0,1,2) . Para isso, vamos seguir alguns passos bem direitinhos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma matriz representativa. Quando a gente tem uma função linear e uma base, a matriz representativa dessa função nessa base é a matriz que, ao multiplicar pelo vetor das coordenadas de entrada na base, dá as coordenadas da imagem na mesma base.
Então, para encontrar essa matriz, precisamos ver o que a função f faz com cada um dos vetores da base dada.

Passo 3

Vamos começar aplicando a função f em cada vetor da base.
  1. Para o primeiro vetor da base v1 = (-1, 0, 1) :
f(c -1 0 1 ) = (c -1 + 2(0) + 1 -0 + 1 -1 + 0 + 2(1) ) = (c 0 1 1 )
  1. Para o segundo vetor da base v2 = (1, 1, 2) :
f(c 1 1 2 ) = (c 1 + 2(1) + 2 -1 + 2 1 + 1 + 2(2) ) = (c 5 1 6 )
  1. Para o terceiro vetor da base v3 = (0, 1, 2) :
f(c 0 1 2 ) = (c 0 + 2(1) + 2 -1 + 2 0 + 1 + 2(2) ) = (c 4 1 5 )

Passo 4

Agora que temos as imagens dos vetores da base sob a função f , precisamos expressionar cada uma dessas imagens em termos da base original v1, v2, v3 .
Ou seja, para cada vetor f(vi) , queremos encontrar os coeficientes a, b, c tais que:
f(vi) = a v1 + b v2 + c v3
Vamos fazer isso para cada vetor.

Passo 5

Para [f(v_1) = (0, 1, 1)):
Isso gera o sistema de equações:
Resolvendo:
  • Da primeira equação: =>
    - Substituindo na terceira: => =>
    - Então, e
Então,
Para :
Sistema:
Resolvendo:
  • Da segunda equação: =>
    - Substituindo na terceira: => => =>
    - Então, e
Então,
Para :
Sistema:
Resolvendo:
  • Da primeira:
    - Substituindo na terceira: => => =>
    - Então, e
Então,

Passo 6

Agora, colocamos esses coeficientes na matriz representativa. Cada coluna da matriz é formada pelos coeficientes correspondentes a f(v1) , f(v2) e f(v3) .
Então, a matriz representativa [f]B é:
[f]B = -1 & 4 & 3 -1 & 9 & 7 2 & -8 & -6

Resposta

A matriz representativa de f em relação à base (-1,0,1),(1,1,2),(0,1,2) é
-1 & 4 & 3 -1 & 9 & 7 2 & -8 & -6

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