Calcule a matriz representativa de f em relação à base (-1,0,1),(1,1,2),(0,1,2) de R^3.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem uma função linear f: R^3 R^3 definida por
f(c x y z ) = (c x + 2y + z -y + z x + y + 2z )
O que a gente precisa descobrir é a matriz representativa dessa função em relação a uma base específica de R^3 , que é (-1,0,1), (1,1,2), (0,1,2) . Para isso, vamos seguir alguns passos bem direitinhos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma matriz representativa. Quando a gente tem uma função linear e uma base, a matriz representativa dessa função nessa base é a matriz que, ao multiplicar pelo vetor das coordenadas de entrada na base, dá as coordenadas da imagem na mesma base.
Então, para encontrar essa matriz, precisamos ver o que a função f faz com cada um dos vetores da base dada.
Passo 3
Vamos começar aplicando a função f em cada vetor da base.
Agora que temos as imagens dos vetores da base sob a função f , precisamos expressionar cada uma dessas imagens em termos da base original v1, v2, v3 .
Ou seja, para cada vetor f(vi) , queremos encontrar os coeficientes a, b, c tais que:
f(vi) = a v1 + b v2 + c v3
Vamos fazer isso para cada vetor.
Passo 5
Para [f(v_1) = (0, 1, 1)):
Isso gera o sistema de equações:
Resolvendo:
Da primeira equação: =>
- Substituindo na terceira: => =>
- Então, e
Então,
Para :
Sistema:
Resolvendo:
Da segunda equação: =>
- Substituindo na terceira: => => =>
- Então, e
Então,
Para :
Sistema:
Resolvendo:
Da primeira:
- Substituindo na terceira: => => =>
- Então, e
Então,
Passo 6
Agora, colocamos esses coeficientes na matriz representativa. Cada coluna da matriz é formada pelos coeficientes correspondentes a f(v1) , f(v2) e f(v3) .
Então, a matriz representativa [f]B é:
[f]B = -1 & 4 & 3 -1 & 9 & 7 2 & -8 & -6
Resposta
A matriz representativa de f em relação à base (-1,0,1),(1,1,2),(0,1,2) é