Considere o subespaço W=[(1,0,0),(0,0,1)]. Usando o produto interno canônico, exiba uma transformação linear T: R^3 R^3 tal que Im(T)=W e ker(T)=W^perp.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = span(1,0,0),,(0,0,1)
em R^3 com o produto interno canônico e pede uma transformação linear
Tcolon R^3 to R^3
tal que Im(T)=W e ker(T)=W^perp. Vamos construir T como a projeção ortogonal em W.

Passo 2

Para achar W^perp, tomamos v=(x,y,z)inR^3 e exigimos
lang<= v,(1,0,0)rang<= = x = 0, lang<= v,(0,0,1)rang<= = z = 0
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W^perp = (0,y,0)mid yinR = span(0,1,0)

Passo 3

A projeção ortogonal de v=(x,y,z) em W usa as bases ortonormais (1,0,0) e (0,0,1):
T(v) = lang<= v,(1,0,0)rang<=,(1,0,0) + lang<= v,(0,0,1)rang<=,(0,0,1)
Como lang<= v,(1,0,0)rang<= = x e lang<= v,(0,0,1)rang<= = z, temos
T(x,y,z) = (x,0,z)

Passo 4

Verificamos agora imagem e núcleo de T:
  1. Im(T)=(x,0,z)mid x,zinR=W
  2. ker(T)=(x,y,z)mid (x,0,z)=(0,0,0) implica x=0 e z=0, ou seja
    ker(T)=(0,y,0)mid yinR=W^perp

Resposta

Uma transformação que satisfaz as condições é
T(x,y,z) = (x,0,z),
pois Im(T)=W e ker(T)=W^perp.

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