Considere as matrizes A=(ccc0 & -1 & 0 1 & x & 0 0 & 0 & y) e B=(ccc1 & 0 & 0 0 & 2 & -2 0 & -2 & 2). Determine:
Os possíveis valores de x, y para que A seja ortogonal.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 0 & -1 & 0 1 & x & 0 0 & 0 & y
e pergunta por quais valores de x,y a matriz A é ortogonal. Para isso, usamos o fato de que A é ortogonal se, e somente se,
A,A^T = I3

Passo 2

Vamos escrever A^T e o produto A,A^T.
A^T = 0 & 1 & 0 -1& x & 0 0 & 0 & y , A,A^T = 0 & -1 & 0 1 & x & 0 0 & 0 & y 0 & 1 & 0 -1& x & 0 0 & 0 & y

Passo 3

Calculemos as entradas de A,A^T.
  1. Entrada (1,2):
(A,A^T)12 = 0cdot1 + (-1)cdot x + 0cdot0 = -,x
Como A,A^T deve ser I3, temos (A,A^T)12=0, logo
-,x = 0 Longrightarrow x = 0

Passo 4

Agora as entradas diagonais. Por exemplo, a (3,3):
(A,A^T)33 = 0^2 + 0^2 + y^2 = y^2
Em I3, esta entrada vale 1, portanto
y^2 = 1 Longrightarrow y = pm 1

Resposta

Os valores de x,y que tornam A ortogonal são
x = 0, y = 1ou y = -1

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