Encontre uma subfamília maximal independente das colunas e uma das linhas da seguinte matriz:
A=[ccccc 1 & 0 & 1 & 1 & 2 2 & 1 & 3 & 1 & 2 1 & 0 & 1 & -1 & -2 1 & 1 & 2 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & -1 & -2 ]

Passo 1

Certo, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma subfamília maximal independente das colunas e uma das linhas da matriz A . Estamos trabalhando com Álgebra Linear, especificamente com a independência linear de vetores (neste caso, colunas e linhas da matriz). Para resolver isso, vamos precisar verificar quais colunas ou linhas são linearmente independentes e garantir que não possamos adicionar mais nenhuma coluna ou linha sem perder essa independência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a independência das colunas da matriz A . As colunas de uma matriz são consideradas vetores no espaço vetorial, e elas são linearmente independentes se nenhuma coluna puder ser escrita como combinação linear das outras.
A matriz A é:
A = 1 & 0 & 1 & 1 & 2 2 & 1 & 3 & 1 & 2 1 & 0 & 1 & -1 & -2 1 & 1 & 2 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & -1 & -2
Vamos verificar a independência das colunas uma a uma.

Passo 3

Vamos considerar as colunas C1, C2, C3, C4, e C5 :
C1 = 12110, C2 = 01010, C3 = 13120, C4 = 11-11-1, C5 = 22-22-2
Observamos que C5 é uma combinação linear de C1 : C5 = 2C1 . Portanto, C5 não é independente das outras colunas.

Passo 4

Agora, vamos verificar se [C_4) pode ser escrita como combinação das outras colunas. Suponha que exista uma combinação .
Resolvendo o sistema:
Vemos que não há solução real para esse sistema, o que significa que são linearmente independentes.

Passo 5

Assim, uma subfamília maximal independente das colunas é C1, C2, C3, C4 .
Agora, vamos encontrar uma subfamília maximal independente das linhas. As linhas também podem ser consideradas vetores, e uma coleção de linhas é linearmente independente se nenhuma linha puder ser expressa como combinação das outras.

Passo 6

Vamos analisar as linhas L1, L2, L3, L4, e L5 :
L1 = 1 & 0 & 1 & 1 & 2, L2 = 2 & 1 & 3 & 1 & 2, L3 = 1 & 0 & 1 & -1 & -2, L4 = 1 & 1 & 2 & 1 & 2, L5 = 0 & 0 & 0 & -1 & -2
Vamos verificar se alguma linha pode ser escrita como combinação das outras.

Passo 7

Observamos que a linha L2 pode ser escrita como 2L1 :
2L1 = 2 times 1 & 0 & 1 & 1 & 2 = 2 & 0 & 2 & 2 & 4
No entanto, isso não coincide exatamente com L2 , então precisamos verificar outras combinações. Vamos tentar outra abordagem.

Passo 8

Vamos formar uma matriz com as linhas L1, L2, L3, L4 e verificar seu determinante ou realizar operações de eliminação para verificar a independência. Após realizar os cálculos, constatamos que nenhuma linha pode ser expressa como combinação das outras, portanto, todas as quatro linhas são linearmente independentes.

Resposta

Uma subfamília maximal independente das colunas de A é C1, C2, C3, C4 e uma subfamília maximal independente das linhas de A é L1, L2, L3, L4 .

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