Determine uma base ortonormal (em relação ao produto interno canônico) para o seguinte subespaço de R^3:
V=(x, y, z) in R^3 ; x-y-z=0

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal de
V=(x,y,z)inR^3: x-y-z=0
usando o produto interno canônico. Vamos primeiro encontrar uma base qualquer de V e depois aplicar o processo de Gram–Schmidt seguido de normalização.

Passo 2

Para achar uma base de V parametrize a condição x-y-z=0 como x=y+z. Seja y=s e z=t. Então
(x,y,z)=(s+t,;s,;t)=s,(1,1,0)+t,(1,0,1)
Logo uma base de V é
u1=(1,1,0), u2=(1,0,1)

Passo 3

Aplicando Gram–Schmidt, primeiro normalizamos u1. O comprimento de u1 é
|u1|=raiz1^2+1^2+0^2=raiz2,
então definimos
v1=u1|u1|=l(tfrac1raiz2,;tfrac1raiz2,;0r)

Passo 4

Agora ortogonalizamos u2 em relação a v1. O coeficiente de projeção é
llang<= u2,v1rrang<= =1cdottfrac1raiz2+0cdottfrac1raiz2+1cdot0 =tfrac1raiz2
Então
w2=u2-llang<= u2,v1rrang<= v1 =(1,0,1)-tfrac1raiz2l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2,0r) =(tfrac12,-tfrac12,1)
Multiplicando por 2 para simplificar, temos vetor paralelo a w2:
w'2=(1,-1,2),
cujo comprimento é
|w'2|=raiz1^2+(-1)^2+2^2=raiz6
Logo o segundo vetor ortonormal é
v2=w'2|w'2| =l(tfrac1raiz6,;-tfrac1raiz6,;tfrac2raiz6r)

Resposta

Uma base ortonormal de V é
l,(v1,v2)r =l, l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2,0r),; l(tfrac1raiz6,-tfrac1raiz6,tfrac2raiz6r) r

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