Considere as matrizes A=[ccc1 & 2 & -3 3 & -1 & 5 4 & 1 & -5] e C=[ccc1 & 2 & -4 -1 & -1 & 5 2 & 7 & -3]
Encontre, se existir, a inversa das matrizes A e C

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as inversas de A e C. O método que vamos usar é a fórmula
M^-1=1det(M)adj(M),
onde det(M) é o determinante de M e adj(M) é a matriz adjunta (transposta da matriz de cofatores).

Passo 2

Calcular det(A) pela regra de Laplace na primeira linha:
det(A) =1cdotdet-1&51&-5 -2cdotdet3&54&-5 +(-3)cdotdet3&-14&1
Agora cada menor:
det-1&51&-5 =(-1)(-5)-5cdot1=5-5=0,
det3&54&-5 =3cdot(-5)-5cdot4=-15-20=-35,
det3&-14&1 =3cdot1-(-1)cdot4=3+4=7
Logo
det(A)=1cdot0-2cdot(-35)+(-3)cdot7 =0+70-21=49

Passo 3

Vamos montar a matriz de cofatores de A. Já calculamos alguns menores; completando para cada posição (i,j) e aplicando o sinal (-1)^i+j, obtemos
l(Cijr) = 0 & 35 & 7 7 & 7 & 7 7 & -14 & -7
A adjunta é a transposta dessa matriz:
adj(A) = 0 & 7 & 7 35 & 7 & -14 7 & 7 & -7
Então
A^-1 =149adj(A) = 0 & tfrac749 & tfrac749 tfrac3549 & tfrac749 & tfrac-1449 tfrac749 & tfrac749 & tfrac-749 = 0 & tfrac17 & tfrac17 tfrac57 & tfrac17 & -tfrac27 tfrac17 & tfrac17 & -tfrac17

Passo 4

Calcular det(C) pela primeira linha:
det(C) =1cdotdet-1&57&-3 -2cdotdet-1&52&-3 +(-4)cdotdet-1&-12&7
Os menores são
det-1&57&-3 =(-1)(-3)-5cdot7=3-35=-32,
det-1&52&-3 =3-10=-7,
det-1&-12&7 =-1cdot7-(-1)cdot2=-7+2=-5
Logo
det(C)=1cdot(-32)-2cdot(-7)+(-4)cdot(-5) =-32+14+20=2

Passo 5

Matriz de cofatores de C:
l(Cijr) = -32 & 7 & -5 -22 & 5 & -3 6 & -1 & 1
Adjunta:
adj(C) = -32 & -22 & 6 7 & 5 & -1 -5 & -3 & 1
Então
C^-1 =12adj(C) = -tfrac322 & -tfrac222 & tfrac62 tfrac72 & tfrac52 & -tfrac12 -tfrac52 & -tfrac32 & tfrac12 = -16 & -11 & 3 tfrac72 & tfrac52 & -tfrac12 -tfrac52 & -tfrac32 & tfrac12

Resposta

A^-1= 0 & tfrac17 & tfrac17 tfrac57 & tfrac17 & -tfrac27 tfrac17 & tfrac17 & -tfrac17 ,
\quad
C^-1= -16 & -11 & 3 tfrac72 & tfrac52 & -tfrac12 -tfrac52 & -tfrac32 & tfrac12

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