Identifique quais das seguintes matrizes estão na forma escalonada reduzida por linhas justificando sua resposta
A=[ccccc1 & 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 0 & -4 0 & 0 & 0 & 1 & 2], B=[ccccc0 & 1 & 0 & 0 & -4 0 & 0 & 1 & 0 & 5 0 & 0 & 0 & -1 & 2]
D=[llllc1 & 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 0] , E=[ccccc0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 2 & -4 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0]

Passo 1

Para que uma matriz esteja na forma escalonada reduzida por linhas (RREF), ela deve satisfazer simultaneamente:
(i) todas as linhas nulas (se existirem) aparecem abaixo das não nulas; ã
(ii) o primeiro e<=mento não nulo de cada linha não nula (pivot) é 1; ããé
(iii) em cada coluna de pivot, esse pivot é o único e<=mento não nulo; éúã
(iv) o pivot de cada linha está estritamente à direita do pivot da linha anterior áà

Passo 2

Analisando
A= 1 & 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 0 & -4 0 & 0 & 0 & 1 & 2 ,
  1. não há linhas nulas, logo (i) vale.
  2. os pivots são ,A11=1,;A23=1,;A34=1, todos iguais a 1, satisfazendo (ii).
  3. em cada coluna de pivot ( 1,3,4) não há outro elemento não nulo, então (iii) vale.
  4. os pivots aparecem nas colunas 1<3<4, respeitando (iv).
    Portanto A está em RREF.

Passo 3

Analisando
B= 0 & 1 & 0 & 0 & -4 0 & 0 & 1 & 0 & 5 0 & 0 & 0 & -1 & 2 ,
o pivot da terceira linha é -1, e para RREF todos os pivots devem ser 1. Falha a condição (ii). Logo B não está em RREF.

Passo 4

Analisando
D= 1 & 0 & 0 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1 & 2 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ,
  1. a única linha nula está embaixo das não nulas, satisfazendo (i).
  2. os pivots são 1.
  3. cada coluna de pivot contém somente esse 1 como elemento não nulo.
  4. os pivots ocorrem em colunas 1<3<4.
    Portanto D está em RREF.

Passo 5

Analisando
E= 0 & 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 2 & -4 0 & 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 ,
  1. há uma linha nula no início, acima de linhas não nulas, violando (i).
    Além disso, na coluna de pivot da terceira linha (coluna 4), existe 2 logo acima na segunda linha, violando (iii).
    Logo E não está em RREF.

Resposta

As matrizes que estão na forma escalonada reduzida por linhas são A e D.

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