Verifique se os conjuntos a seguir são bases do espaço vetorial V.
B=(1,-1,3),(0,-1,6),(-1,0,3) de V=R^3

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
,B=(1,-1,3),(0,-1,6),(-1,0,3)
é uma base de R^3.
Em um espaço de dimensão 3, um conjunto com 3 vetores forma base se e somente se eles são linearmente independentes. Vamos, portanto, calcular o determinante da matriz formada por esses vetores para testar a independência.

Passo 2

Organizamos os vetores como linhas (ou colunas) de uma matriz A:
A = 1 & -1 & 3 0 & -1 & 6 -1 & 0 & 3
A independência linear de 3 vetores em R^3 equivale a det(A)neq0.

Passo 3

Cálculo de det(A). Expandindo por co-fatores na primeira linha:
det(A) = 1 cdot det-1 & 6 0 & 3 -(-1) cdot det0 & 6 -1 & 3 + 3 cdot det0 & -1 -1 & 0
Os determinantes 2times 2 valem -3, 6 e -1, respectivamente. Logo,
det(A) = 1 cdot (-3) -(-1)cdot6 +3cdot(-1)
det(A) = -3 + 6 - 3 = 0

Passo 4

Como det(A)=0, os vetores são linearmente dependentes. Portanto,
B não pode ser uma base de R^3.

Resposta

O conjunto B não é base de R^3 porque os vetores são linearmente dependentes (determinante zero).

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