Considere as matrizes
A=[rrr 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 8 & 1 & 5 ], B=[rrr 8 & 1 & 5 2 & -7 & -1 3 & 4 & 1 ], C=[rrr 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 2 & -7 & 3 ]
Encontre matrizes elementares E1 e E2 tais que
E1 B=A

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar duas matrizes elementares E1 e E2 que, quando multiplicadas pela matriz B , resultem na matriz A . Isso está dentro do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente em operações com matrizes e matrizes elementares. Para resolver, vamos precisar entender o que são matrizes elementares e como elas operam sobre outras matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são matrizes elementares. Elas são matrizes obtidas a partir da matriz identidade por meio de uma única operação elementar de linha, como:
  1. Troca de duas linhas.
  2. Multiplicação de uma linha por um escalar diferente de zero.
  3. Adição de um múltiplo de uma linha a outra linha.
Essas matrizes são úteis porque representam operações que podemos aplicar a outras matrizes simplesmente multiplicando-as.

Passo 3

Vamos observar as matrizes A e B :
A = 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 8 & 1 & 5 , B = 8 & 1 & 5 2 & -7 & -1 3 & 4 & 1
Notamos que as linhas de A e B estão em ordem diferente. Especificamente, a primeira e a terceira linhas de B estão trocadas em relação a A .

Passo 4

Para transformar B em A , podemos trocar a primeira e a terceira linha de B . Essa operação pode ser representada por uma matriz elementar E1 .
A matriz identidade I é:
I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
Para trocar a primeira e a terceira linha, modificamos I de forma que o primeiro e o terceiro elementos da diagonal sejam trocados:
E1 = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0

Passo 5

Agora, vamos verificar o efeito de multiplicar E1 por B :
E1 cdot B = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 8 & 1 & 5 2 & -7 & -1 3 & 4 & 1 = 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 8 & 1 & 5 = A
Viu só? Com apenas essa operação, já conseguimos transformar B em A .

Passo 6

No entanto, a questão pede duas matrizes elementares E1 e E2 . Observando que nossa operação foi uma única troca de linhas, podemos considerar que uma das matrizes é a identidade, já que não precisamos de uma segunda operação.
Portanto, podemos definir:
E2 = I = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1
E então:
E1 cdot E2 cdot B = E1 cdot I cdot B = E1 cdot B = A

Resposta

As matrizes elementares são:
E1 = 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 , E2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1

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