Seja a matriz , encontre: p(A), tal que p(x)=3 x^2-x-1.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A = 3 & 1 1 & 2 e precisa encontrar p(A) , onde p(x) = 3x^2 - x - 1 . A matéria que vamos usar aqui é álgebra de matrizes, especificamente a aplicação de polinômios em matrizes. Para resolver isso, vamos precisar calcular A^2 , multiplicar matrizes por escalar, e fazer algumas subtrações de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular A^2 , que é a matriz A multiplicada por ela mesma. Para multiplicar duas matrizes 2x2, usamos a regra:
A times A = a & b c & d times e & f g & h = ae + bg & af + bh ce + dg & cf + dh
Aplicando isso à nossa matriz A :
A^2 = 3 & 1 1 & 2 times 3 & 1 1 & 2 = (3 times 3) + (1 times 1) & (3 times 1) + (1 times 2) (1 times 3) + (2 times 1) & (1 times 1) + (2 times 2) = 10 & 5 5 & 5
Passo 3
Agora que temos A^2 = 10 & 5 5 & 5 , vamos multiplicar essa matriz por 3, conforme o polinômio p(x) = 3x^2 - x - 1 . Multiplicar uma matriz por um escalar significa multiplicar cada elemento da matriz pelo número:
3A^2 = 3 times 10 & 5 5 & 5 = 30 & 15 15 & 15
Passo 4
Agora, precisamos calcular -A . Isso é simples, basta multiplicar cada elemento da matriz A por -1:
-A = -1 times 3 & 1 1 & 2 = -3 & -1 -1 & -2
Passo 5
O último termo do polinômio é -1 . Em termos de matrizes, isso significa subtrair a matriz identidade multiplicada por 1. A matriz identidade 2x2 é: