Seja A a matriz (ll3 & 1 1 & 2), encontre:
p(A), tal que p(x)=3 x^2-x-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A = 3 & 1 1 & 2 e precisa encontrar p(A) , onde p(x) = 3x^2 - x - 1 . A matéria que vamos usar aqui é álgebra de matrizes, especificamente a aplicação de polinômios em matrizes. Para resolver isso, vamos precisar calcular A^2 , multiplicar matrizes por escalar, e fazer algumas subtrações de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A^2 , que é a matriz A multiplicada por ela mesma. Para multiplicar duas matrizes 2x2, usamos a regra:
A times A = a & b c & d times e & f g & h = ae + bg & af + bh ce + dg & cf + dh
Aplicando isso à nossa matriz A :
A^2 = 3 & 1 1 & 2 times 3 & 1 1 & 2 = (3 times 3) + (1 times 1) & (3 times 1) + (1 times 2) (1 times 3) + (2 times 1) & (1 times 1) + (2 times 2) = 10 & 5 5 & 5

Passo 3

Agora que temos A^2 = 10 & 5 5 & 5 , vamos multiplicar essa matriz por 3, conforme o polinômio p(x) = 3x^2 - x - 1 . Multiplicar uma matriz por um escalar significa multiplicar cada elemento da matriz pelo número:
3A^2 = 3 times 10 & 5 5 & 5 = 30 & 15 15 & 15

Passo 4

Agora, precisamos calcular -A . Isso é simples, basta multiplicar cada elemento da matriz A por -1:
-A = -1 times 3 & 1 1 & 2 = -3 & -1 -1 & -2

Passo 5

O último termo do polinômio é -1 . Em termos de matrizes, isso significa subtrair a matriz identidade multiplicada por 1. A matriz identidade 2x2 é:
I = 1 & 0 0 & 1
Então,
-1 = -1 times I = -1 & 0 0 & -1

Passo 6

Agora, vamos juntar tudo para encontrar p(A) :
p(A) = 3A^2 - A - I = 30 & 15 15 & 15 + -3 & -1 -1 & -2 + -1 & 0 0 & -1
Vamos somar as matrizes elemento a elemento:
p(A) = 30 - 3 - 1 & 15 - 1 + 0 15 - 1 + 0 & 15 - 2 - 1 = 26 & 14 14 & 12

Resposta

Então, p(A) = 26 & 14 14 & 12 .

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