Seja A a matriz (ll3 & 1 1 & 2), encontre:
p(A^-1), tal que p(x)=x-1.

Passo 1

Então, a gente tem uma matriz A = 3 & 1 1 & 2 e queremos encontrar p(A^-1) , onde o polinômio p(x) = x - 1 . Basicamente, estamos trabalhando com matrizes e precisando usar conceitos de matrizes inversas e operações com polinômios aplicados a matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz inversa de A , ou seja, A^-1 . Para uma matriz 2 times 2 , a inversa é dada por:
A^-1 = 1det(A) d & -b -c & a
Onde det(A) é o determinante da matriz A , e a, b, c, d são os elementos da matriz A = a & b c & d .

Passo 3

Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = (3)(2) - (1)(1) = 6 - 1 = 5

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da matriz inversa:
A^-1 = 15 2 & -1 -1 & 3 = 25 & -15 -15 & 35

Passo 5

Com A^-1 encontrada, vamos aplicar o polinômio p(x) = x - 1 à matriz A^-1 . Isso significa que:
p(A^-1) = A^-1 - I
Onde I é a matriz identidade de ordem 2:
I = 1 & 0 0 & 1

Passo 6

Vamos subtrair a matriz identidade de A^-1 :
p(A^-1) = 25 & -15 -15 & 35 - 1 & 0 0 & 1 = 25 - 1 & -15 - 0 -15 - 0 & 35 - 1

Passo 7

Simplificando as subtrações:
p(A^-1) = -35 & -15 -15 & -25

Resposta

Portanto, p(A^-1) = -35 & -15 -15 & -25 .

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