Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe está no campo da Álgebra Linear, mais especificamente envolvendo matrizes elementares. A gente precisa encontrar duas matrizes elementares, E1 e E2 , que, quando aplicadas na matriz C , resultem na matriz A . Basicamente, vamos descobrir quais operações básicas devemos fazer na matriz C para transformar ela na matriz A .
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são matrizes elementares. Elas são matrizes que representam operações elementares de linha. Existem três tipos principais de operações elementares:
Troca de duas linhas.
Multiplicação de uma linha por um número diferente de zero.
Adição de um múltiplo de uma linha a outra linha.
Cada uma dessas operações pode ser representada por uma matriz especial chamada matriz elementar.
Observamos que apenas a terceira linha de C está diferente da terceira linha de A . Então, nossa missão é transformar a terceira linha de C em [8, 1, 5] usando operações elementares.
Passo 4
Vamos identificar quais operações precisamos fazer na terceira linha de C :
Primeira entrada: de 2 para 8. Isso pode ser conseguido multiplicando a linha por 4.
Segunda entrada: de -7 para 1. Mas se multiplicarmos por 4, teremos -28. Precisamos ajustar isso.
Terceira entrada: de 3 para 5. Após multiplicar por 4, teremos 12 e precisamos chegar a 5. Parece que uma simples multiplicação não resolve tudo de uma vez.
Então, em vez de multiplicar diretamente, vamos pensar em combinar operações:
Primeiro, multiplicamos a terceira linha por 2:
2 times 2 = 4 -7 times 2 = -14 3 times 2 = 6
Depois, adicionamos a segunda linha de C (que é [2, -7, -1]) à terceira linha multiplicada por 2:
4 + 2 = 6 -14 + (-7) = -21 6 + (-1) = 5
Mas isso ainda não nos dá [8, 1, 5]. Vamos tentar uma abordagem diferente.
Passo 5
Vamos tentar multiplicar a terceira linha por 2 e depois adicionar a primeira linha:
Multiplicamos a terceira linha por 2:
2 times 2 = 4 -7 times 2 = -14 3 times 2 = 6
**Adicionamos a primeira linha de C (que é [3, 4, 1]) à terceira linha multiplicada por 2:
4 + 3 = 7 -14 + 4 = -10 6 + 1 = 7
Ainda não chegamos em [8, 1, 5]. Parece que precisamos de uma combinação diferente.
Passo 6
Vamos tentar um método mais sistemático. Queremos resolver o seguinte sistema para encontrar coeficientes que transformem [2, -7, 3] em [8, 1, 5]:
a times 2 + b times 3 = 8 a times (-7) + b times 4 = 1 a times 3 + b times 1 = 5
Resolvendo essas equações, encontramos os valores de a e b que nos darão as operações necessárias.
Passo 7
No entanto, para simplificar, vamos optar por duas operações elementares:
Multiplicar a terceira linha por 4:
E1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 4
Aplicando E1 em C :
E1 C = 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 8 & -28 & 12
Adicionar 28 vezes a terceira linha a segunda linha para ajustar a segunda entrada:
E2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 28 0 & 0 & 1
Aplicando E2 em E1 C :
E2 E1 C = 3 & 4 & 1 8 & 1 & 5 8 & -28 & 12
Agora, precisamos ajustar a terceira linha para ficar igual à de A .
Passo 8
Para finalizar, ajustamos a terceira linha novamente:
Subtrair a primeira linha da terceira linha:
E3 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1
Aplicando E3 em E2 E1 C :
E3 E2 E1 C = 3 & 4 & 1 8 & 1 & 5 5 & -28 & 11
Ainda não chegamos em A , então precisamos reconsiderar as operações iniciais.
Passo 9
Vamos simplificar e tentar uma única operação para transformar diretamente a terceira linha de C em A :
Adicionar 3 vezes a primeira linha à terceira linha:
E1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 3 & 0 & 1
Aplicando E1 em C :
E1 C = 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 11 & 4 & 4
Subtrair a segunda linha da terceira linha:
E2 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & -1 & 1
Aplicando E2 em E1 C :
E2 E1 C = 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 9 & 11 & 5
Ainda não está igual a A . Parece que precisamos de uma abordagem diferente.
Passo 10
Vamos tentar encontrar as matrizes elementares de forma mais direta, focando apenas na terceira linha:
Multiplicar a terceira linha de C por 4 para obter o primeiro elemento correto (8):
E1 = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 4
Aplicando E1 em C :
E1 C = 3 & 4 & 1 2 & -7 & -1 8 & -28 & 12
Adicionar 29 vezes a segunda linha à terceira linha para ajustar a segunda entrada de -28 para 1: