Discuta como o posto de A varia com t.
A=[lll1 & 1 & t 1 & t & 1 t & 1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu para a gente discutir como o posto da matriz A varia com t . O posto de uma matriz é basicamente o número de linhas ou colunas que são linearmente independentes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o posto de A . O posto é o maior número de colunas (ou linhas) que não podem ser escritas como combinação linear umas das outras. Se o posto for máximo (igual ao menor entre o número de linhas e colunas), a matriz é chamada de “de posto completo”.

Passo 3

Para descobrir como o posto de A varia com t , vamos calcular o determinante da matriz. O determinante nos ajuda a saber se a matriz é inversível (posto completo) ou não. Se o determinante for diferente de zero, o posto é máximo. Se for zero, o posto pode ser menor.
A matriz A é:
A = 1 & 1 & t 1 & t & 1 t & 1 & 1
Vamos calcular o determinante de A , que é dado por:
det(A) = 1 cdot (t cdot 1 - 1 cdot 1) - 1 cdot (1 cdot 1 - t cdot 1) + t cdot (1 cdot 1 - t cdot t)
det(A) = 1(t - 1) - 1(1 - t) + t(1 - t^2)
det(A) = t - 1 - 1 + t + t - t^3
det(A) = 3t - 2 - t^3
det(A) = -t^3 + 3t - 2

Passo 4

Agora, vamos analisar os valores de t que fazem o determinante ser zero, pois esses valores podem reduzir o posto da matriz.
Resolvendo -t^3 + 3t - 2 = 0 :
t^3 - 3t + 2 = 0
(t - 1)(t^2 + t - 2) = 0
(t - 1)(t + 2)(t - 1) = 0
As soluções são t = 1 e t = -2 .

Passo 5

Com base nos valores de t :
  • Para t neq 1 e t neq -2 : O determinante é diferente de zero, então o posto de A é 3 (máximo).
  • Para t = 1 : O determinante é zero. Vamos verificar se o posto é 2 ou menor. Substituindo t = 1 na matriz A :
A = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1
Todas as linhas são iguais, então há apenas uma linha linearmente independente. Portanto, o posto é 1.
  • Para t = -2 : O determinante também é zero. Substituindo t = -2 na matriz A :
A = 1 & 1 & -2 1 & -2 & 1 -2 & 1 & 1
Aqui, não todas as linhas são iguais, mas podemos ver que existe dependência linear entre elas. Após simplificações, vemos que há duas linhas linearmente independentes. Então, o posto é 2.

Resposta

O posto da matriz A é:
  • 3, quando t é qualquer número real diferente de 1 e -2;
  • 1, quando t = 1 ;
  • 2, quando t = -2 .

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