Beleza, vamos lá! Você pediu para a gente discutir como o posto da matriz A varia com t . O posto de uma matriz é basicamente o número de linhas ou colunas que são linearmente independentes. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como determinantes e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o posto de A . O posto é o maior número de colunas (ou linhas) que não podem ser escritas como combinação linear umas das outras. Se o posto for máximo (igual ao menor entre o número de linhas e colunas), a matriz é chamada de “de posto completo”.
Passo 3
Para descobrir como o posto de A varia com t , vamos calcular o determinante da matriz. O determinante nos ajuda a saber se a matriz é inversível (posto completo) ou não. Se o determinante for diferente de zero, o posto é máximo. Se for zero, o posto pode ser menor.
A matriz A é:
A = 1 & 1 & t 1 & t & 1 t & 1 & 1
Vamos calcular o determinante de A , que é dado por:
Agora, vamos analisar os valores de t que fazem o determinante ser zero, pois esses valores podem reduzir o posto da matriz.
Resolvendo -t^3 + 3t - 2 = 0 :
t^3 - 3t + 2 = 0
(t - 1)(t^2 + t - 2) = 0
(t - 1)(t + 2)(t - 1) = 0
As soluções são t = 1 e t = -2 .
Passo 5
Com base nos valores de t :
Para t neq 1 e t neq -2 : O determinante é diferente de zero, então o posto de A é 3 (máximo).
Para t = 1 : O determinante é zero. Vamos verificar se o posto é 2 ou menor. Substituindo t = 1 na matriz A :
A = 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1
Todas as linhas são iguais, então há apenas uma linha linearmente independente. Portanto, o posto é 1.
Para t = -2 : O determinante também é zero. Substituindo t = -2 na matriz A :
A = 1 & 1 & -2 1 & -2 & 1 -2 & 1 & 1
Aqui, não todas as linhas são iguais, mas podemos ver que existe dependência linear entre elas. Após simplificações, vemos que há duas linhas linearmente independentes. Então, o posto é 2.
Resposta
O posto da matriz A é:
3, quando t é qualquer número real diferente de 1 e -2;